Menurunkan Rumus Trigonometri Serta Cara Memperolehnya

 PJJ Matematika Minat, 26/04/2021

Rumus Jumlah Dan Selisih Sudut

Dari gambar segitiga ABC berikut:

AD = b.sin α

BD = a.sin β

CD = a.cos β = b.cos α

Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°

Untuk fungsi tangens:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

untuk latihan silahkan kalian pelajari dan cari cara untuk mendapatkan/ memperoleh rumus 

Rumus Sudut Rangkap.

Kumpulkan tugasnya pada kelas kalian masing-masing di google classrom:
Link : https://classroom.google.com/c/MTE2ODk2MDk1NTQy?cjc=oosukbt

kode kelas : oosukbt

STEP UP PERSAMAAN LINGKARAN

PJJ Matematika Minat, 19/04/2021

Sebagai catatan singkat, beberapa aturan dasar sederhana pada Lingkaran berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran;

PERSAMAAN LINGKARAN

---

• Pusat $(0,0)$ dengan jari-jari $r$
  $\iff$ Persamaan Lingkaran $x^2+y^2=r^2$
• Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
  $\iff$ Persamaan Lingkaran $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
• Persamaan Umum Lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$
  $\iff$ Pusat $\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}$

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$

---

• Jika nilai $K=p^2+q^2$ dan $K>r^2$ maka titik $A$ di luar $L$;
• Jika nilai $K=p^2+q^2$ dan $K=r^2$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
• Jika nilai $K=p^2+q^2$ dan $K<r^2$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

• Jika nilai $K=(p-a{)}^2+(q-b{)}^2$ dan $K>r^2$ maka titik $A$ di luar $L$;
• Jika nilai $K=(p-a{)}^2+(q-b{)}^2$ dan $K=r^2$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
• Jika nilai $K=(p-a{)}^2+(q-b{)}^2$ dan $K<r^2$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^2+y^2+Ax+By+C=0$

---

• Jika nilai $K=p^2+q^2+Ap+Bq+C$ dan $K>0$ maka titik $A$ di luar $L$;
• Jika nilai $K=p^2+q^2+Ap+Bq+C$ dan $K=0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
• Jika nilai $K=p^2+q^2+Ap+Bq+C$ dan $K<0$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan garis dengan lingkaran

---

Misal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^2+y^2+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke lingkaran $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita bisa peroleh nilai $D=b^2-4ac$

• Jika nilai $D>0$ maka garis memotong lingkaran;
• Jika nilai $D=0$ maka garis menyinggung lingkaran;
• Jika nilai $D<0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

---

• Jika diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ pada lingkaran
• Persamaan Lingkaran $x^2+y^2=r^2$
  $\iff$ PGS: $x{x}_1+y{y}_1=r^2$
• Persamaan Lingkaran $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
  $\iff$ PGS: $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$
• Persamaan Lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$
  $\iff$ PGS: $x{x}_1+y{y}_1+\frac{1}{2}A(x+x_1)+\frac{1}{2}B(y+y_1)+C=0$
• Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $\left(m\right)$
• Persamaan Lingkaran $x^2+y^2=r^2$
  $\iff$ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$
• Persamaan Lingkaran $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
  $\iff$ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$

Jarak Titik ke Titik

---

Jarak titik $\left(x_1,y_1\right)$ ke titik $\left(x_2,y_2\right)$ adalah:
$d=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

Jarak Titik ke Garis

---

Jarak titik $\left(x_1,y_1\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left|\frac{a{x}_1+b{y}_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

Rumus Alternatif Persamaan Garis Singgung (PGS) lingkaran

---

• Persamaan Garis Singgung lingkaran dengan pusat $\left(x_1,y_1\right)$ dan jari-jari $r$ yang sejajar dengan garis $ax+by+c=0$, adalah:
  $ax+by=a{x}_1+b{y}_1\pm r\sqrt{a^2+b^2}$
• Persamaan Garis Singgung lingkaran dengan pusat $\left(x_1,y_1\right)$ dan jari-jari $r$ yang tegak lurus dengan garis $ax+by+c=0$, adalah:
  $bx-ay=b{x}_1-a{y}_1\pm r\sqrt{a^2+b^2}$

Untuk melatih kemampuan kita dalam bermatematik, terkhusus dalam materi pokok lingkaran, soal-soal berikut dapat kita jadikan bahan latihan.

1. Soal UMPTN 1994

Jari-jari dan titik pusat lingkaran $4x^2+4y^2+4x-12y+1=0$ adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{3}{2}\text{dan}\left(-\frac{1}{2},1\right)\\ \left(B\right)& \frac{3}{2}\text{dan}\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\\ \left(C\right)& \frac{3}{2}\text{dan}\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\\ \left(D\right)& 3\text{dan}\left(1,3\right)\\ \left(E\right)& 3\text{dan}\left(-1,3\right)\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{array}{cc}4x^2+4y^2+4x-12y+1& =0\\ x^2+y^2+x-3y+\frac{1}{4}& =0\\ A=1,B=-3,& C=\frac{1}{4}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\text{Pusat}& =\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\ & =\left(-\frac{1}{2}\left(1\right),-\frac{1}{2}(-3)\right)\\ & =\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\\ r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}(1{)}^2+\frac{1}{4}(-3{)}^2-\frac{1}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)\frac{3}{2}\text{dan}\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$

2. Soal SPMB 2005 Kode 280

Jika $a<0$ dan lingkaran $x^2+y^2-ax+2ay+1=0$ mempunyai jari-jari $2$ maka koordinat pusat lingkaran adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\\ \left(B\right)& \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\\ \left(C\right)& \left(1,-2\right)\\ \left(D\right)& \left(-1,2\right)\\ \left(E\right)& \left(-1,-2\right)\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-ax+2ay+1& =0\\ A=-a,B=2a,& C=1\end{array}$

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ r^2& =\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C\\ 2^2& =\frac{1}{4}(-a{)}^2+\frac{1}{4}(2a{)}^2-1\\ 4& =\frac{1}{4}{a}^2+a^2-1\\ 4+1& =\frac{5}{4}{a}^2\\ 5\cdot \frac{4}{5}& =a^2\\ 4& =a^2\to a=\pm 2\end{array}$
Karena $a<0$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-2$, sehingga berlaku:

$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-ax+2ay+1& =0\\ x^2+y^2+2x-4y+1& =0\\ A=2,B=-4,& C=1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\text{Pusat}& =\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\ & =\left(-\frac{1}{2}\left(2\right),-\frac{1}{2}(-4)\right)\\ & =\left(-1,2\right)\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)\left(-1,2\right)$

3. Soal UN Matematika IPA 2006

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(3,1)$ dan menyinggung garis $3x+4y+7=0$ adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& x^2+y^2-6x-2y+6=0\\ \left(B\right)& x^2+y^2-6x-2y+9=0\\ \left(C\right)& x^2+y^2-6x-2y-6=0\\ \left(D\right)& x^2+y^2+6x-2y-9=0\\ \left(E\right)& x^2+y^2+6x+2y+6=0\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada soal sudah diberitahu bahwa pusat $P(3,1)$.
Lingkaran menyinggung garis $3x+4y+7=0$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(3,1)$ ke garis $3x+4y+7=0$.
$\begin{array}{cc}r=d& =\left|\frac{a{x}_1+b{y}_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\\ & =\left|\frac{\left(3\right)\left(3\right)+\left(4\right)\left(1\right)+7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\ & =\left|\frac{20}{\sqrt{25}}\right|=4\end{array}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(3,1)$ dan $r=4$
$\begin{array}{cc}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-3{)}^2+(y-1{)}^2& =4^2\\ x^2+y^2-6x-2y+9+1& =16\\ x^2+y^2-6x-2y-6& =0\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)x^2+y^2-6x-2y-6=0$

4. Soal SPMB 2003

Diketahui lingkaran $2x^2+2y^2-4x+3py-30=0$ melalui titik $(-2,1)$. Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& x^2+y^2-4x+12y-90=0\\ \left(B\right)& x^2+y^2-4x+12y+9=0\\ \left(C\right)& x^2+y^2-2x+6y-90=0\\ \left(D\right)& x^2+y^2-2x+6y+90=0\\ \left(E\right)& x^2+y^2-2x-6y-90=0\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Lingkaran $2x^2+2y^2-4x+3py-30=0$ melalui titik $(-2,1)$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{cc}2x^2+2y^2-4x+3py-30& =0\\ 2(-2{)}^2+2(1{)}^2-4(-2)+3\left(1\right)p-30& =0\\ 8+2+8+3p-30& =0\\ 3p& =12\\ p& =4\end{array}$

Untuk $p=4$, maka persamaan lingkaran menjadi
$\begin{array}{cc}2x^2+2y^2-4x+3py-30& =0\\ 2x^2+2y^2-4x+12y-30& =0\\ x^2+y^2-2x+6y-15& =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}\text{Pusat}& =\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\ & =\left(-\frac{1}{2}(-2),-\frac{1}{2}\left(6\right)\right)\\ & =\left(1,-3\right)\\ r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}(-2{)}^2+\frac{1}{4}(6{)}^2-(-15)}\\ & =\sqrt{1+9+15}=5\end{array}$

Persamaan lingkaran dengan $P\left(1,-3\right)$ dan $r=2\left(5\right)=10$ adalah:
$\begin{array}{cc}{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2& =r^2\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2& ={10}^2\\ x^2+y^2-2x+6y+1+9& =100\\ x^2+y^2-2x+6y-90& =0\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)x^2+y^2-2x+6y-90=0$

5. Soal UMPTN 1992

Jika titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2+2x-5y-21=0$, nilai $k$ adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& -1\text{atau}-2\\ \left(B\right)& 2\text{atau}4\\ \left(C\right)& -1\text{atau}6\\ \left(D\right)& 0\text{atau}3\\ \left(E\right)& 1\text{atau}-6\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2+2x-5y-21=0$, sehingga berlaku:
$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2+2x-5y-21& =0\\ (-5{)}^2+k^2+2(-5)-5(k)-21& =0\\ 25+k^2-10-5k-21& =0\\ k^2-5k-6& =0\\ (k-6)(k+1)& =0\\ k=6\text{atau}k=-1& \end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)-1\text{atau}6$

6. Soal UMPTN 2005 Kode 780

Jika lingkaran $x^2+y^2+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$, maka nilai $c$ adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& -7\\ \left(B\right)& -6\\ \left(C\right)& 0\\ \left(D\right)& 6\\ \left(E\right)& 12\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada lingkaran $x^2+y^2+6x+6y+c=0$ titik pusatnya adalah:
$\begin{array}{cc}\text{Pusat}& =\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\ & =\left(-\frac{1}{2}\left(6\right),-\frac{1}{2}\left(6\right)\right)\\ & =\left(-3,-3\right)\end{array}$

Lingkaran $x^2+y^2+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(-3,-3)$ ke garis $x=2$ yaitu $5$.

Jika belum bisa mendapatkan $r=5$ dengan membayangkan posisi lingkaran dengan garis dapat menghitung jarak $P(-3,-3)$ ke garis $x-2=0$ yaitu:
$\begin{array}{cc}r=d& =\left|\frac{a{x}_1+b{y}_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\\ & =\left|\frac{\left(1\right)(-3)+\left(0\right)(-3)-2}{\sqrt{(1{)}^2+(0{)}^2}}\right|\\ & =\left|\frac{-5}{\sqrt{1}}\right|=5\end{array}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(-3,-3)$ dan $r=5$
$\begin{array}{cc}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x+3{)}^2+(y+3{)}^2& =5^2\\ x^2+y^2+6x+6y+9+9& =25\\ x^2+y^2+6x+6y-7& =0\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)-7$

7. Soal SPMB 2006 Kode 420

Jika lingkaran $x^2+y^2+ax+by+c=0$ yang berpusat di $(1,-1)$ dan menyinggung garis $y=x$, maka nilai $a+b+c$ adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 0\\ \left(B\right)& 1\\ \left(C\right)& 2\\ \left(D\right)& 3\\ \left(E\right)& 4\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada lingkaran $x^2+y^2+ax+by+c=0$ titik pusatnya $(1,-1)$, sehingga berlaku:
$\begin{array}{cc}\text{Pusat}& =\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\ \left(1,-1\right)& =\left(-\frac{1}{2}\left(a\right),-\frac{1}{2}\left(b\right)\right)\\ a& =-2\\ b& =2\end{array}$
Untuk $a=-2$ dan $b=2$ maka persamaan lingkaran $x^2+y^2-2x+2y+c=0$.

Lingkaran $x^2+y^2-2x+2y+c=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(1,-1)$ ke garis $x-y=0$, yaitu:
$\begin{array}{cc}r=d& =\left|\frac{a{x}_1+b{y}_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\\ & =\left|\frac{\left(1\right)\left(1\right)+(-1)(-1)+0}{\sqrt{(1{)}^2+(-1{)}^2}}\right|\\ & =\left|\frac{2}{\sqrt{2}}\right|=\sqrt{2}\end{array}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(1,-1)$ dan $r=\sqrt{2}$
$\begin{array}{cc}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-1{)}^2+(y+1{)}^2& ={\left(\sqrt{2}\right)}^2\\ x^2+y^2-2x+2y+1+1& =2\\ x^2+y^2-2x+2y& =0\end{array}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $c=0$, sehingga $a+b+c=-2+2+0=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(A\right)0$

8. Soal UMPTN 1994

Lingkaran yang melalui titik-titik $(4,2),(1,3)$ dan $(-3,-5)$ berjari-jari...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 8\\ \left(B\right)& 7\\ \left(C\right)& 6\\ \left(D\right)& 5\\ \left(E\right)& 4\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Untuk membentuk persamaan lingkaran dari tiga titik yang dilalui lingkaran adalah dengan mensubstitusi nilai $(x,y)$ ke persamaan umum lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$. Setelah dapat tiga persamaan dengan dua variabel, lalu dilakukan substitusi atau eliminasi.

$\begin{array}{cc}(4,2)& \to (4{)}^2+(2{)}^2+A\left(4\right)+B\left(2\right)+C=0\\ & \to 4A+2B+C=-20\cdots \left(pers.1\right)\\ (1,3)& \to (1{)}^2+(3{)}^2+A\left(1\right)+B\left(3\right)+C=0\\ & \to A+3B+C=-10\cdots \left(pers.2\right)\\ (-3,-5)& \to (-3{)}^2+(-5{)}^2+A(-3)+B(-5)+C=0\\ & \to -3A-5B+C=-34\cdots \left(pers.3\right)\end{array}$

Pertama, kita pilih mengeliminasi $C$ dari $\left(pers.1\right)$ dan $\left(pers.2\right)$
$\begin{array}{cc}4A+2B+C=-20& \\ A+3B+C=-10& (-)\\ 3A-B=-10\cdots \left(pers.4\right)& \end{array}$

Kedua, kita mengeliminasi $C$ dari $\left(pers.2\right)$ dan $\left(pers.3\right)$
$\begin{array}{cc}A+3B+C=-10& \\ -3A-5B+C=-34& (-)\\ 4A+8B=24& \\ A+2B=6\cdots \left(pers.5\right)& \end{array}$

Ketiga, kita mengeliminasi $A$ atau $B$ dari $\left(pers.4\right)$ dan $\left(pers.5\right)$
$\begin{array}{cc}3A-B=-10& (\times 2)\\ A+2B=6& (\times 1)\\ 6A-2B=-20& \\ A+2B=6& (+)\\ 7A=-14& A=-2& \end{array}$

Keempat, kita substitusi $A=-2$ ke $\left(pers.4\right)$ atau $\left(pers.5\right)$
$\begin{array}{cc}A+2B=6& \to -2+2B=6\\ & \to 2B=8\\ & \to B=4\end{array}$

Kelima, kita substitusi $A=-2$ dan $B=4$ ke $\left(pers.1\right)$, $\left(pers.2\right)$ atau $\left(pers.3\right)$
$\begin{array}{cc}4A+2B+C=-20& \to 4(-2)+2\left(4\right)+C=-20\\ & \to -8+8+C=-20\\ & \to C=-20\end{array}$
Untuk $A=-2$, $B=4$ dan $C=-20$, kita sudah dapat menentukan persamaan lingkran atau jari-jari lingkaran.
$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}(-2{)}^2+\frac{1}{4}(4{)}^2-(-20)}\\ & =\sqrt{1+4+20}=5\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)5$

9. Soal UMPTN 2001 Rayon C

Jika garis $x=2y+5$ memotong lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka panjang ruas garis $AB$ adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 4\\ \left(B\right)& 5\\ \left(C\right)& 4\sqrt{2}\\ \left(D\right)& 2\sqrt{5}\\ \left(E\right)& 4\sqrt{3}\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Titik potong lingkaran dan garis dapat kita ketahui dengan mensubsitusi $x=2y+5$ ke persamaan $x^2+y^2-4x+8y+10=0$.
$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-4x+8y+10& =0\\ (2y+5{)}^2+y^2-4(2y+5)+8y+10& =0\\ 4y^2+20y+25+y^2-8y-20+8y+10& =0\\ 5y^2+20y+15& =0\\ y^2+4y+3& =0\\ (y+3)(y+1)& =0\end{array}$
$y=-1\text{maka}x=2(-1)+5=3$
$y=-3\text{maka}x=2(-3)+5=-1$

Kita peroleh titik potong garis dan lingkaran adalah di $A(3,-1)$ dan $B(-1,-3)$, panjang ruas garis $AB$ adalah
$\begin{array}{cc}d& =\sqrt{(-3+1{)}^2+(-1-3{)}^2}\\ & =\sqrt{4+16}\\ & =2\sqrt{5}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)2\sqrt{5}$

10. Soal UMPTN 1999 Rayon C

Jika garis $g:x-2y=5$ memotong lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka luas segitiga yang dibentuk oleh $A$, $B$ dan pusat lingkaran adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 2\sqrt{10}\\ \left(B\right)& 4\sqrt{2}\\ \left(C\right)& 6\\ \left(D\right)& 5\\ \left(E\right)& 10\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

kita ketahui bahwa jika garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^2+y^2+Ax+By+C=0$ berpotongan maka titik potong dapat diperoleh dari akar persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran.

Pertama, kita substitusi $x-2y=5$ ke $x^2+y^2-4x+8y+10=0$
$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-4x+8y+10& =0\\ (5+2y{)}^2+y^2-4(5+2y)+8y+10& =0\\ 4y^2+20y+25+y^2-20-8y+8y+10& =0\\ 5y^2+20y+15& =0\\ y^2+4y+3& =0\\ (y+1)(y+3)& =0\\ y=-1\text{atau}y=-3& \end{array}$
Untuk $y=-1$ kita peroleh $x=5+2y=5+2(-1)=3$, titik potong $(3,-1)$
Untuk $y=-3$ kita peroleh $x=5+2y=5+2(-3)=-1$, titik potong $(-1,-3)$

Jika kita gambarkan, titik potong garis dengan lingkaran dan segitiga yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dapat kita hitung luas segitiga adalah luas setengah persegi dimana panjang sisi persegi adalah:
$\begin{array}{cc}d& =\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\\ & =\sqrt{{\left(3-0\right)}^2+{\left(-1-0\right)}^2}\\ & =\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\end{array}$
Luas segitiga adalah $\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)5$

11. Soal SPMB 2005 Kode 580

Lingkaran $L$ menyinggung sumbu-$x$, menyinggung lingkaran $x^2+y^2=4$ dan melalui titik $(4,6)$. Persamaan lingkaran $L$ adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& (x-4{)}^2+(y+6{)}^2=144\\ \left(B\right)& (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=5\\ \left(C\right)& x^2+y^2-8x-6y+16=0\\ \left(D\right)& x^2+y^2-24x+44=0\\ \left(E\right)& x^2+y^2-8x+6y+56=0\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jika kita gambarkan, ilustrasi apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:

• Lingkaran yang akan kita kita tentukan misalkan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ yaitu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.
• Lingkaran menyinggung sumbu-$x$ sehingga dengan pusat $(a,b)$, dapat kita tentukan bahwa $r=b$.
• Pada segitiga $PQR$ dapat kita terapkan teorema phytagoras,
  $\begin{array}{cc}O{P}^2& =O{Q}^2+P{Q}^2\\ (r+2{)}^2& =a^2+r^2\\ r^2+4r+4& =a^2+r^2\\ 4r+4& =a^2\end{array}$
• Lingkaran $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ melalui titik $(4,6)$ sehingga berlaku:
  $\begin{array}{cc}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (4-a{)}^2+(6-b{)}^2& =r^2\\ a^2-8a+16+b^2-12b+36& =r^2\\ 4r+4=a^2\text{dan}b=r\\ 4r+4-8a+16+r^2-12r+36& =r^2\\ -8a+56& =8r\\ -a+7& =r\end{array}$

Untuk $r=-a+7$ dan $4r+4=a^2$ kita peroleh:
$\begin{array}{cc}4r+4& =a^2\\ 4(-a+7)+4& =a^2\\ -4a+28+4& =a^2\\ a^2+4a-32& =0\\ (a+8)(a-4)& =0\\ a=-8\text{atau}a=4& \end{array}$
Dengan $a=4$, maka $b=r=-a+7=3$, sehingga persamaan lingkaran adalah:
$\begin{array}{cc}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-4{)}^2+(y-3{)}^2& =3^2\\ x^2+y^2-8x-6y+16+9& =9\\ x^2+y^2-8x-6y+16& =0\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)x^2+y^2-8x-6y+16=0$

12. Soal UM-UGM 2004 Kode 111

Diketahui sebuah lingkaran $L:x^2+y^2+2y-24=0$. Jika melalui titik $P(1,6)$ dibuat garis singgung pada $L$ maka jarak dari $P$ ke titik singgung tadi adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 1\\ \left(B\right)& 2\\ \left(C\right)& 3\\ \left(D\right)& 4\\ \left(E\right)& 5\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2+2y-24=0& =0\\ A=0,B=2,C=-24& \end{array}$
$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ r^2& =\frac{1}{4}(0{)}^2+\frac{1}{4}(2{)}^2-(-24)\\ r^2& =1+24\\ r& =\sqrt{25}=5\end{array}$
$\begin{array}{cc}\text{Pusat}& =\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\ & =\left(-\frac{1}{2}\left(0\right),-\frac{1}{2}\left(2\right)\right)\\ & =\left(0,-1\right)\end{array}$
Jarak titik pusat $O\left(0,-1\right)$ ke $P\left(1,6\right)$ adalah:
$\begin{array}{cc}OP& =\sqrt{{\left(0-1\right)}^2+{\left(-1-6\right)}^2}\\ & =\sqrt{1+49}\\ & =\sqrt{50}\end{array}$
Karena garis singgung tegak lurus dengan jari-jari, sehingga berlaku teorema phytagoras antara titik pusat, titik singgung dan titik $P$. Jarak titik singgung ke titik $P\left(1,6\right)$ adalah:
$\begin{array}{cc}d& =\sqrt{O{P}^2-r^2}\\ & =\sqrt{50-5^2}\\ & =\sqrt{25}=5\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)5$

13. Soal SPMB 2006 Kode 621

Lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-2px+q=0$, $p>0$ dan yang berjari-jari $2$ akan menyinggung garis $x-y=0$ bila $p$ sama dengan...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 2\\ \left(B\right)& 2\sqrt{2}\\ \left(C\right)& 4\\ \left(D\right)& 4\sqrt{2}\\ \left(E\right)& 4\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Jari-jari lingkaran $x^2+y^2-2px+q=0$ adalah $2$, sehingga berlaku:
$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ 2& =\sqrt{\frac{1}{4}(-2p{)}^2+\frac{1}{4}(0{)}^2-\left(q\right)}\\ 2& =\sqrt{p^2-q}\\ 4& =p^2-q\end{array}$

Lingkaran $x^2+y^2-2px+q=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol;
$\begin{array}{cc}{x}^2+(x{)}^2-2px+q& =0\\ 2x^2-2px+q& =0\\ D=b^2-4ac& =0\\ (-2p{)}^2-4(2\left)\right(q)& =0\\ 4p^2-8q& =0\\ p^2-2q& =0\\ p^2-q-q& =0\\ 4-q& =0\\ q& =4\end{array}$

Untuk $q=4$ maka kita peroleh nilai $p$
$\begin{array}{cc}4& =p^2-q\\ 4& =p^2-4\\ 8& =p^2\\ 2\sqrt{2}& =p\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)2\sqrt{2}$

14. Soal SPMB 2005 Kode 480

Jika garis $y=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(2x+5\right)$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2-4x-k=0$, maka $k=\cdots$

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& -5\sqrt{5}\\ \left(B\right)& -5\\ \left(C\right)& \sqrt{5}\\ \left(D\right)& 5\sqrt{5}\\ \left(E\right)& 5\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Lingkaran $x^2+y^2-4x-k=0$ menyinggung garis $y=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(2x+5\right)$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol;
$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-4x-k& =0\\ x^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\left(2x+5\right)\right)}^2-4x-k& =0\\ x^2+\frac{1}{5}{\left(2x+5\right)}^2-4x-k& =0\\ 5x^2+\left(4x^2+20x+25\right)-20x-5k& =0\\ 9x^2+25-5k& =0\\ D=b^2-4ac& =0\\ (0{)}^2-4(9\left)\right(25-5k)& =0\\ 0-900+180k& =0\\ 180k& =900\\ k& =\frac{900}{180}=5\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)5$

15. Soal SPMB 2006 Kode 320

Diketahui lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Jika lingkaran tersebut menyinggung parabola $y=(a+2)+bx-x^2$ di titik puncak, maka $b=\cdots$

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& -4\\ \left(B\right)& -2\\ \left(C\right)& 1\\ \left(D\right)& 2\\ \left(E\right)& 4\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Soal di atas adalah penggabungan materi lingkaran dan fungsi kuadrat, sehingga sedikit catatan tentang fungsi kuadrat mungkin perlu kita tampilkan yaitu:
Titik puncak parabola $y=a{x}^2+bx+c$ adalah $\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$

Lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ menyinggung puncak parabola $y=(a+2)+bx-x^2$, kemungkinannya hanya berada pada satu posisi, ilustrasinya seperti berikut ini:

Dari pusat lingkaran $(a,7)$ dan titik puncak parabola $\left(x_p,y_p\right)$ dapat kita simpulan bahwa $x_p=a$ dan $y_p+3=7\to y_p=4$
$\begin{array}{cc}{x}_p& =-\frac{b}{2a}\\ a& =-\frac{b}{2(-1)}\\ 2a& =b\\ y_p& =-\frac{b^2-4ac}{4a}\\ 4& =-\frac{b^2-4(-1)(a+2)}{4(-1)}\\ 16& =b^2+4a+8\\ 0& =b^2+4a-8\\ 0& =b^2+2\left(b\right)-8\\ 0& =(b+4)(b-2)\\ & b=-4\text{atau}b=2\end{array}$
Karena $a$ bilangan bulat positif sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)2$

16. Soal SBMPTN 2016 Kode 322

Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_1$ dan $R_2$ dengan $R_1>R_2$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 10\pi \\ \left(B\right)& 15\pi \\ \left(C\right)& 20\pi \\ \left(D\right)& 25\pi \\ \left(E\right)& 30\pi \end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Untuk menghitung Selisih luas lingkaran maka perhitungannya adalah;
$\pi R_1^2-\pi R_2^2$
$=\pi \left(R_1^2-R_2^2\right)$
Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran.

Dengan memperhatikan gambar diatas, $△OAB$ adalah segitiga sama kaki. sehingga jika $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku;
$\begin{array}{cc}O{A}^2& =A{C}^2+O{C}^2\\ R_1^2& =5^2+R_2^2\\ R_1^2-R_2^2& =5^2\\ R_1^2-R_2^2& =25\end{array}$

Selisih luas kedua lingkaran adalah $\pi \left(R_1^2-R_2^2\right)=\pi \left(25\right)=25\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)25\pi$

17. Soal SBMPTN 2016 Kode 234

Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran luar $x^2+y^2=16$ dan $(x-8{)}^2+(y-8{)}^2=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 4\sqrt{2}\\ \left(B\right)& 3\sqrt{2}\\ \left(C\right)& 2\sqrt{2}\\ \left(D\right)& 2\sqrt{3}\\ \left(E\right)& \sqrt{3}\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;

$g_1$ dan $g_3$ adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar lingkaran memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan.
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_1$ atau $g_3$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^2}$

Untuk mengetahui gradien $g_1$ kita hitung dari gradien $g_2$ karena $g_1$ sejajar dengan $g_2$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_2$

$\begin{array}{cc}{m}_2& =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ m_2& =\frac{8-0}{8-2}\\ m_2& =1\\ m_1& =1\end{array}$

Persamaan $g_1$ adalah
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^2}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$

Saat garis $g_1$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y=4\sqrt{2}$ atau $y=-4\sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(A\right)4\sqrt{2}$

Silahkan pelajari materi di atas dan isi absensinya di gooogle classrom:
https://classroom.google.com/c/MTE2ODk2MDk1NTQy?cjc=oosukbt