Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

 

PJJ MATEMATIKA PEMINATAN

Semester 2, tanggal 15 Maret 2021

Ketemu lagi di pemeblajaran matematika peminatan, setelah kalian melaksanakan PTS selama 1 minggu kemari. Semoga kalian dalam keadaan sehat selalu dan tetap semangat untuk belajar matematika bersama saya. Sebelum memulai alangkah lebih baik saya ingatkan kembali pesan Ibu jangan lupa memakai masker, menjauhi kerumunan dan mencuci tangan, agar kita terhidar dari virus covid-19. Baik untuk lebih lanjut silahkan pelajari bahan materi di bawah:

Kali ini kita akan membahas tentang akar-akar suku banyak (polinomial), khususnya jumlah dan hasil kali akar-akar pada suku banyak (polinomial). Secara umum persamanan suku banyak berderajat n ditulis:

P(x) = 0, atau

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + . . . . + a₁x₁ + a_o = 0.

Misalkan terdapat sebuah suku banyak (polinomial) P(x) dengan bentuk  P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + . . . . + a₁x₁ + a_o, (x – k) adalah faktor dari P(x) jika k adalah akar  atau penyelesaian dari persamaan P(k) = 0.

Teorema:

Jika suku banyak P(x) berderajat n, maka persamaan polinomial P(x) memiliki maksimum n buah akar atau penyelesaian.

Seperti pada persamaan kuadrat, pada suku banyak berderajat n juga terdapat permasalahan tentang jumlah/selisih dan hasil kali akar-akar persamaan.

Berikut hubungan antara jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan pada suku banyak (polinomial).

A. Persamaan Suku Banyak Berderajat Dua

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan ax² + bx + c, maka diperoleh bentuk persamaan:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:

B. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) Berderajat Tiga

Jika x₁ , x₂, dan x₃ adalah akar-akar dari persamaan ax³ + bx² + cx + d, maka diperoleh bentuk persamaan:

ax³ + bx² + cx + d  = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:

C. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) Berderajat Empat

Jika x₁ , x₂, x₃, dan x₄ adalah akar-akar dari persamaan ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, maka diperoleh bentuk persamaan:

ax³ + bx² + cx + d  = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄), atau dengan membagi kedua ruas diperoleh:

Untuk lebih jelasnya menggunakan rumus-rumus di atas, perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Diketahui suku banyak  x³ + 3x² - 12x + 18 memiliki akar x₁, x₂, dan x₃.

Tentukan nilai :

a.   (x₁ + x₂ + x₃)² =  x₁² + x₂² + x₃² + 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

      x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² - 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

    x₁² + x₂² + x₃² = (-3)² - 2(-12)

                         = 9 + 24

                         = 33

    Jadi, nilai dari x₁² + x₂² + x₃² = 34.

Contoh Soal 2

Diketahui suku banyak  x⁴ - 3x³ + mx² + nx - 12 memiliki akar x₁, x₂, x₃, dan x₄. Jika pasangan dua akar pertama saling berlawanan dan akar yang ketiga adalah dua kali akar keempat. Tentukan nilai m dan n.

Penyelesaian:

x⁴ - 3x³ + mx² + nx - 12 memiliki akar x₁, x₂, x₃, dan x₄

Diperoleh nilai a = 1, b = -3, c = m, d = n, dan e = -12.

Diketahui :

Pasangan dua akar pertama saling berlawanan, berarti x₁ = - x₂. Dengan demikian x₁ + x₂ = 0.

Akar yang ketiga adalah dua kali akar keempat, berarti x₃ = 2x₄.

Gunakan hasil penjumlahan akar.

Gunakan akar-akar ini untuk menentukan nilai m dan n.

P(x) = x⁴ - 3x³ + mx² + nx - 12

x = 1 dan x = 2 merupakan akar-akar, sehingga P(1) = 0 dan P(2) = 0.

P(1) = 0

(1)⁴ – 3(1)³ + m(1)² + n(1) – 12 = 0

                  1 – 3 + m + n – 12 = 0

                                   m + n = 14    ...(1)

P(2) = 0

(2)⁴ – 3(2)³ + m(2)² + n(2) – 12 = 0

            16 – 24 + 4m + 2n – 12 = 0

                         4m + 2n – 20 = 0

                                4m + 2n = 20

                                  2m + n = 10    ...(2)

Gunakan substitusi

  m + n = 14

2m + n = 10 -

-m = 4, sehingga nilai m = -4.

Akhirnya diperoleh nilai n = 18.

Jadi, nilai m dan n berturut-turut -4 dan 18.

Demikianlah materi tentang permasalahan jumlah dan hasil kali akar-akar pada suku banyak. 
Semoga bermanfaat.

untuk mengisi absensi dan tugas silahkan masuk ke kelas kalian di google classrom, dengan tautau di bawah :

https://classroom.google.com/c/MTE2OTk2MDYzNjAx?cjc=ed6boyy
atau dengan kode kelas : ed6boyy
Dikarenakan materi ini sudah di bahas oleh kak fiqi miftah, saya ingin membuat quisioner jawab dengan bijak: