KESAMAAN POLINOMIAL DAN PEMBAGIAN POLINOMIAL

 بـــــــسم الرّحـــمن الرّحـــــــيم

matematika lanjutan Kelas XI, 12 agustus 2024

Semoga pada kesempatan hari ini ananda dalam keadaan sehat dan semangat selalu, permohonan maaf dari saya terkait pembelajaran hari ini kurang maksimal.

Akan tetapi saya sudah membuat video pembelajaran berikut, mohon di tonton:

atau jika ananda kesulitan mempelajari video, menonton video silahkan ananda mempelajari materi berikut:

Misalkan terdapat dua suku banyak yaitu suku banyak $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$. Suku banyak $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ dikatakan sama jika kedua suku banyak tersebut mempunyai nilai yang sama untuk variabel $x$ pada bilangan real. Kesamaan dua suku banyak $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ ditulis $\begin{array}{c}f\left(x\right)\equiv g\left(x\right)\end{array}$ .

Perhatiakan dua suku banyak $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ dalam bentuk umum sebagai berikut.

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_{1}x+a_0\\ g\left(x\right)& =b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+...+b_{1}x+b_0\end{array}$

Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ mempunyai nilai yang sama untuk $(n+1)$ nilai $x$ yang berbeda, maka berlaku hubungan:

$\begin{array}{c}{a}_n=b_n,a_{n-1}=b_{n-1},...a_1=b_1,a_0=b_0\end{array}$

Kesamaan suku banyak di atas dapat digunakan untuk mengetahui koefisien-koefisien tak tentu suatu bentuk aljabar, yaitu koefisien yang belum diketahui nilainya. Supaya lebih jelas, perhatikanlah beberapa contoh soal berikut.

Soal 1

Tentukan nilai $a$ dari kesamaan $x^2-3x+14\equiv (x-1)(x-2)+3a$

Pembahasan
$\begin{array}{cc}{x}^2-3x+14& \equiv (x-1)(x-2)+3a\\ & \equiv x^2-3x+2+3a\\ & \equiv x^2-3x+(2+3a)\end{array}$
Perhatikan, $(2+3a)$ adalah konstanta suku banyak di ruas kanan dan konstanta di ruas kiri adalah  $14$,maka dengan ketentuaan kesamaan nilai $a$ ditentukan sebagai betikut.
$\begin{array}{cc}14& =2+3a\\ 3a& =12\\ a& =4\end{array}$

Soal 2

Tentukan nilai $p$ dan $q$ dari kesamaan suku banyak berikut.

$\begin{array}{c}\frac{p}{(x-1)}+\frac{q}{(x+2)}=\frac{2x}{(x-1)(x+2)}\end{array}$

Pembahasan
Yang diminta adalah nilai $p$ dan $q$ yang mana keduanya ada di ruas kiri. Perhatikan kesamaan ini,yaitu kesamaan suku banyak dalam bentuk pecahan. Perlu diingat aturan operasi penjumlahan pada pecahan, yaitu: $\begin{array}{c}\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\end{array}$ .
Dengan demikian:
$\begin{array}{cc}\frac{p}{(x+3)}+\frac{q}{(x-2)}& =\frac{2x}{(x+3)(x-2)}\\ \frac{p(x-2)+q(x+3)}{(x-1)(x+2)}& =\frac{2x}{(x+3)(x-2)}\\ p(x-2)+q(x+3)& =2x\\ px-2p+qx+3q& =2x\\ px+qx-2p+3p& =2x\\ (p+q)x-2p+3q& =2x\end{array}$

Berdasarkan ketentuan dua suku banyak, maka diperoleh:

$\begin{array}{cc}p+q& =2...\left(1\right)\\ -2p+3q& =0...\left(2\right)\end{array}$ 

Substitusi persamaan $\left(1\right)$ ke persamaan $(2) 
$\begin{array}{cc}p+q& =2\Rightarrow q=2-p\end{array}$  

Baca Juga

$\begin{array}{cc}-2p+3q=0& \iff -2p+3(2-p)=0\\ & \iff -2p+6-3p=0\\ & \iff -5p=-6\\ & \iff p=\frac{6}{5}\\ p+q=2& \iff \frac{6}{5}+q=2\\ & \iff q=-\frac{4}{5}\end{array}$
Jadi, nilai $\begin{array}{c}p=\frac{6}{5}\end{array}$  dan $\begin{array}{c}q=-\frac{4}{5}\end{array}$  

Soal 1

Tentukan nilai $a,b$, dan $c$ dari kesamaan:

$x^2-2x+7=(x+3)(ax+b)+c$

Pembahasan
$\begin{array}{cc}{x}^2-2x+7& =(x+3)(ax+b)+c\\ & =a{x}^2+3ax+bx+3b+c\\ & =a{x}^2+(3a+b)x+3b+c\end{array}$

Dari kesamaan suku banyak diperoleh:

$\begin{array}{cc}a& =1\\ 3a+b& =-2\\ 3b+c& =7\end{array}$ 

$\begin{array}{cc}a=1\Rightarrow 3a+b& =-2\\ 3\left(1\right)+b& =-2\\ b& =-5\\ b=-5\Rightarrow 3b+c& =7\\ 3(-5)+c& =7\\ -15+c& =7\\ c& =22\end{array}$

Jadi, nilai $a,b$ dan $c$ berturut-turut adalah $1,5$ dan 22.

Soal 4

Jika $\begin{array}{c}\frac{4x^2+3x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}\equiv \frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+x+1}\end{array}$, tentukan nilai $a+b+c$.

Pembahasan
$\begin{array}{cc}\text{Kiri}& =\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+x+1}\\ & =\frac{a(x^2+x+1)+(bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ & =\frac{(a{x}^2+ax+a)+(b{x}^2-bx+cx-c)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ & =\frac{a{x}^2+b{x}^2+ax-bx+cx+a-c}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ & =\frac{(a+b)x^2+(a-b+c)x+a-c}{(x-1)(x^2+x+1)}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\text{Kanan}& \equiv \text{Kiri}\\ \frac{4x^2+3x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}& \equiv \frac{(a+b)x^2+(a-b+c)x+a-c}{(x-1)(x^2+x+1)}\end{array}$ 

Dari kententuan pada suku banyak, diperoleh:

$\begin{array}{cc}a+b& =4...\left(1\right)\\ a-b+c& =3...\left(2\right)\\ a-c& =1...\left(3\right)\end{array}$ 

Jumlahkan ketiga persamaan:

$\begin{array}{cc}3a=8& \Rightarrow a=\frac{8}{3}\\ a-c=1& \Rightarrow \frac{8}{3}-c=1\\ & \Rightarrow c=\frac{5}{3}\\ a+b=4& \Rightarrow \frac{8}{3}+b=4\\ b& \Rightarrow b=\frac{4}{3}\end{array}$

Jadi, $\begin{array}{c}a+b+c=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{17}{3}\end{array}$

Pembagian Polinomial

Sobat pintar pasti sudah biasa untuk membagi bilangan dengan cara diatas, nah sekarang bagimana yaa kalau pembagiannya bukan sekedar bilangan, melainkan polinomial. 

Ada dua cara untuk menyelesaikan pembagian polinomial sobat, pertama dengan cara diatas atau biasa disebut cara bersusun dan yang kedua dengan cara horner. 

Sebelum membagi polinomial mari kita ulas kembali pembagian. Pembagian secara umum dapat ditulis:

Bilangan yang dibagi = (pembagi × hasil bagi) + sisa

Pada polinomial juga berlaku hal yang sama, misal polinomial f(x) dibagi oleh p(x) menghasilkan h(x) dan sisanya s(x), maka dapat ditulis:

f(x)=p(x)·h(x) +s(x) 

 

Pembagian polinomial oleh bentuk linear (mx+n)

Misal polinomial f(x) dibagi (mx+n) maka dapat ditulis

Agar sobat pintar tidak bingung dengan penjelasan barusan, sobat pintar perhatikan contoh soal berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (3x4 –5x3 +7x2 +5x +2) : (3x+1)

Cara bersusun

Cara Horner

 

Pembagian polinomial oleh bentuk kuadrat (ax2+bx+c) dengan a bukan nol

Pada pembagian ini cara horner hanya bisa dipakai jika pembaginya bisa difaktorkan. Misal polinomial f(x) dibagi (ax2+bx+c) dengan a bukan 0, maka langkah penyelesaian cara horner adalah

Untuk mempermudah sobat pintar dalam memahami penjelasan diatas sobat pintar bisa menyimak contoh soal berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari polinomial f(x)=x4 –3x2 +2x –1 oleh x2 –x –2

Cara bersusun

Cara Horner

Pembagi x2 –x –2 difaktorkan menjadi (x–2)(x+1), artinya k1=2, k2=–1, dan a=1

Demikianlah ulasan materi kesamaan dan pembagian pada polinomial. Apabila dalam tulisan ini ditemukan kesalahan atau pun kekeliruan dalam penulisan, kritik, saaran serta masukan dari para pembaca sangat diharapkan. Silakan ditulis pada kolom komentar.

Terimas kasih.

Tolong kerjakan soal berikut pada buku kalian:

Bagilah polinomial berikut dengan polinomial linear yang diberikan:

$$\mathrm{1.\; P}(x)=3x^3-5x^2+2x-7\text{dengan}D(x)=x-2$$

$$\mathrm{2.\; Q}(x)=4x^2+9x-10\text{dengan}D(x)=\mathrm{<br>}x+3$$

$$\mathrm{3.\; R}(x)=2x^3+7x^2-4x+8\text{dengan}D(x)=x+1$$

$$\mathrm{4.\; S}(x)=5x^4-3x^3+x^2-6x+2\text{dengan}D(x)=x-3$$

$$\mathrm{5.\; T}(x)=6x^4+11x^3-7x^2+5x-9\text{dengan}D(x)=\mathrm{<br>}x+1$$