FUNGSI TRIGONOMETRI

Risman Firmansyah - Pangalengan, 29 Januari 2025

Pedoman Belajar

Pada pertemuan sekarang kita akan belajar dalam jejaring atau sering dikenal dengan PJJ, mohon pahami struktur belajarnya. pertama anda baca dulu sampai tuntas, lalu anda pelajari secara seksama dan analisis setiap definisi, sifat ataupun teorema yang ada, setelah itu coba pahami setiap langkah pengerjaan yang ada, lalu coba kerjakan soalnya dan cocokan hasil jawaban anda.

Materi Inti

Kilas Balik Trigonometri

Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)

Sesuatu yang bisa diukur itu memiliki satuan ukuran untuk mengukurnya. Begitu pula dengan sudut. Satuan sudut yang paling sering kita temui dan dipergunakan adalah derajat (dilambangkan dengan “o”). Namun, ada satuan lain yang dapat digunakan untuk mengukur satuan sudut, yaitu satuan radian (dilambangkan dengan “rad”).

Kalian pasti masih ingat pelajaran waktu SMP bahwa besar sudut dalam satu putaran penuh adalah 360 atau 1 didefinisikan sebagai besar sudut yang dibentuk oleh 1 360 putaran penuh. Satuan derajat ini berasal dari peradaban manusia yang mengaitkannya dengan musim yang dipengaruhi oleh perputaran umi terhadap matahari. Dalam 1 (satu) kali revolusi bumi menyelesaikannya dalam 360 hari. Coba Kalian cermati gambar berikut:

Dari gambar di atas didapat besar sudut berikut:

Kalian dapat mendeskripsikan beberapa satuan putaran yang lain.

Selain ukuran derajat, kita juga mengenal ukuran radian. satu radian atau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran berjari-jari r dan membentuk busur sepanjang r juga atau besar sudut pusat dari suatu lingkaran yang panjang busur dihadapan sudut tersebut adalah sama dengan jari-jari lingkaran tersebut. Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya sudut telah dalam satuan radian.

Hubungan satuan derajat dengan satuan radian adalah bahwa satu putaran penuh sama dengan 2π radian. Untuk lebih jelasnya, dapat kita lihat seperti di bawah ini.

Coba Kalian perhatikan hubungan secara Aljabar antara derajat dengan Radian berikut:

Konsep Dasar Sudut

Kalian sudah sering mendengar kata "sudut". Sebenarnya apa yang dimaksud dengan sudut? Untuk memahami masalah sudut, coba Kalian lakukan Langkah-langkah berikut:

Lukis sinar garis (misal sinar AB)
Putar sinar AB dengan pusat A sampai terjadi sinar garis AC, sehingga terbentuk sudut BAC
Beri nama sudut BAC = α

Dari proses tersebut Kalian telah membuat sudut ∠𝐵𝐴𝐶 seperti tampak pada gambar.

Dalam kajian geometris, sudut didefnisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan jarum jam. Arah putaran untuk membentuk sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini.

Dalam bidang koordinat kartesius, jika sisi awal suatu garis berimpit dengan sumbu 𝑥 dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius itu, disebut sudut standar (baku). Jika sisi akhir berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut, sudut yang seperti ini disebut pembatas kuadran, yaitu 0°, 90°, 180°, 270° dan 360°. Sebagai catatan, bahwa untuk menyatakan suatu sudut, lazimnya digunakan huruf Yunani, seperti, α (alpha), β (betha), γ (gamma), dan θ (tetha), dan juga digunakan huruf-huruf kapital, seperti A, B, C, dan D.

Cermati gambar di bawah ini. Jika sudut yang dihasilkan sebesar α (sudut standar), maka sudut β disebut sebagai sudut koterminal, sehingga α + β = 3600 , seperti gambar berikut.

Definisi: Sudut-sudut koterminal adalah dua sudut standar, memiliki sisi-sisi akhir (terminal side) yang berimpit.

Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Pada Segitiga Siku-Siku

Perhatikan gambar. Segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku dengan titik sudut siku-siku di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a satuan, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b satuan, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c satuan.

Pada gambar, diketahui BAC = α. Sisi BC = a disebut sisi di depan sudut α, sisi AC = b disebut sisi di samping sudut α, dan sisi AB = c disebut sisi miring (hipotenusa). Dari ketiga sisi segitiga siku-siku ABC tersebut, dapat ditentukan perbandinga-perbandingan trigonometri sebagai berikut.

Definisi : Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Catatan :

Untuk selanjutnya, penulisan sinus dan cosinus disingkat sin dan cos, penulisan tangen dan cotangen disingkat tan dan cot, penulisan secan dan cosecan disingkat sec dan cosec (atau csc).

Berdasarkan definisi di atas, dapat diturunkan rumus-rumus dasar trigonometri berikut ini.

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut yang dimaksud adalah sudut-sudut yang besarnya 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat ditentukan dengan menggunakan konsep lingkaran satuan seperti pada gambar berikut.

Rangkuman Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Fungsi Trigonometri

Ilmu Trigonometri ini tentunya memiliki penerapan dan manfaat dalam kehidupan seharihari kita, diantaranya pada bidang teknik sipil, arsitek bangunan, dan astronomi. Misalnya dalam ilmu teknik sipil, ilmu trigonometri ini digunakan oleh seorang Surveyor (ahli ilmu ukur tanah). Pengukuran tanah adalah salah satu cabang ilmu alam untuk menentukan posisi ruang dimendsi tiga dari suatu tempat pada permukaan bumi. Yang paling sering kita jumpai adalah dalam ilmu arsitektur bangunan, ilmu trigonometri sering digunakan untuk menentukan sudut dalam proses pembuatan suatu bangunan atau gedung-gendung tinggi. Para arsitek tersebut bekerja dengan menggunakan perbandingan trigonometri.

Dalam dunia Teknik sipil, kita sering melihat seorang insinyur sipil dalam menguji kekuatan bangunan mengunakan getaran dan gelombang yang hasilnya berbentuk seperti grafik dibawah ini.

Bentuk grafik seperti di atas adalah bentuk grafik yang akan kita pelajari di dalam modul ini.

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang menghubungkan besar sudut dengan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Nilai fungsi trigonometri ini digunakan untuk menentukan besar sudut atau panjang sisi suatu segitiga.

Ada tiga bentuk dasar dari sebuah fungsi trigonometri yaitu fungsi sinus, fungsi cosinus dan fungsi tangen. Ketiga fungsi ini dapat dengan mudah digambarkan dengan bantuan satuan lingkaran sehingga diperoleh sebuah gambar grafik fungsi trigonometri. Grafik fungsi sinus dan fungsi cosinus akan membentuk sebuah gelombang yang berulang dan periodik. Bentuk khas dari fungsi trigonometri ini maka dapat ditemukan karakteristik dari fungsi trigonometri jika terjadi perubahan pada amplitudo dan periodenya.

Dalam menentukan grafik fungsi trigonometri dapat digunakan dua cara, yaitu dengan menggunakan tabel sudut-sudut istimewa trigonometri dan membuat lingkaran satuan. Pada bahasan kita akan membahas cara menggambarkan fungsi trigonometri sinus, cosinus dan tangen dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan. Pembahasan kita akan dibagi menjadi tiga bagian bagian Grafik Sinus, Grafik Cosinus dan Grafik Tangen.

Pada bahasan sebelumnya kita telah membahas terkait dengan lingkaran satuan dengan jari-jari 1 satuan. Bahwa lingkaran satuan dengan jari-jari satu adalah lingkat yang berpusat di O (0,0) dengan jari-jari sebesar 1 satuan.

Dengan menggunakan definisi di atas, maka diperoleh gambar di bawah ini:

Ingat kembali definisi fungsi adalah pemetaan yang menghubungkan semua anggota domain (daerah asal) ke tepat satu anggota kodomain (daerah hasil), maka fungsi trigonometri juga harus memenuhi ketentuan tersebut.

Pada fungsi trigonometri yang menjadi domain adalah besarnya sudut, atau pada gambar di atas adalah 𝜃. Karena untuk setiap sudut 𝜃 hanya akan mempunyai satu nilai Sin 𝜃, Cos 𝜃, dan Tan 𝜃 yang merupakan anggota bilangan riil. Fungsi sinus, cosinus dan tangen merupakan relasi dari himpunan sudut ke bilangan riil yang dapat digambarkan sebagai berikut:

Dengan:

gambar (i) menunjukan fungsi grafik sinus yang didefiniskan 𝑓 ∶ 𝜃 → 𝑆𝑖𝑛 𝜃 , 𝜃 ∈ 𝑅, dengan 𝑓(𝜃) = 𝑆𝑖𝑛 𝜃
gambar (ii) menunjukan fungsi cosinus yang didefinisikan 𝑓 ∶ 𝜃 → 𝐶𝑜𝑠 𝜃 , 𝜃 ∈ 𝑅, dengan 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃
gambar (iii) adalah grafik fungsi tangen yang didefinisikan 𝑓 ∶ 𝜃 → 𝑇𝑎𝑛 𝜃 , 𝜃 ∈ 𝑅, dengan 𝑓(𝜃) = 𝑇𝑎𝑛 𝜃

Fungsi 𝑓(𝜃) = 𝑆𝑖𝑛 𝜃, 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃, 𝑓(𝜃) = 𝑇𝑎𝑛 𝜃 kita sebut sebagai fungsi trigonometri. Adapun nilai Sin, Cos dan Tangen suatu sudut dapat bernilai positif maupun bernilai negatif atau nol tergantung letak sudutnya berada di kudrannya.

Menentukan nilai fungsi trigonometri sama seperti kita menentukan nilai fungsi yang lainnya, yaitu dengan melakukan substitusi nilai variable yang diberikan kedalam fungsinya. (Ingat kembali nilai-nilai sudut trigonometri, khususnya terkait dengan nilai sudut istimewa!)

Berikutnya akan kita bahas bagaimana menggambarkan grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan atau lingkaran dengan jari-jari satuan. Untuk memahami fungsi trigonometri secara umum, maka kita terlebih dahulu membahasa grafik fungsi trigonometri dasar yaitu grafik y = Sinx, ,, y = cos x dan y = tan x.

Grafik fungsi trigonometri digambar dalam tata koordinat Cartesius yang menggunakan dua sumbu, yakni sumbu x sebagai nilai sudut dan sumbu y sebagai nilai fungsinya. Untuk melukis kedua sumbu ini dipakai aturan tersendiri, yaitu sebagai berikut:

Sumbu x sebagai nilai sudut, panjangnya sama dengan keliling lingkaran (2πr). Dalam satuan derajar sumbu ini dibagi menjadi 360 bagian dengan setiap bagiannya sama dengan 10. Sedangkan dalam satuan radian nilai-nilai tersebut dikonversikan ke dalam π radian.
Sumbu y sebagai nilai fungsinya, dengan skalanya dihitung satu satuan panjang sebagai panjang jari-jari lingkaran.

Dari ilustrasi di atas, maka dapat digambarkan koordinat Cartesius yang digunakan untuk menggambar fungsi trigonometri sebagai berikut:

Dengan menggunakan koordinat Cartesius di atas, maka dibawah akan kita bahas cara untuk menggambar grafik trigonometri sederhana y = sin x, y = cos x dan y = tan x dengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut:

Grafik Fungsi Sinus

Untuk membuat grafik fungsi y = sin x, maka yang langkah-langkahnya adalah:

bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilai fungsi trigonometrinya.
buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.
buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut istimewa yang telah kita pelajari sebelumnya.

Perhatikan gambar berikut ini:

Berdasarkan yang kita peroleh diatas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = sin x dengan meletakkan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut:

Grafik Fungsi Cosinus

Untuk membuat grafik fungsi y = cos x, maka yang Langkah-langkahnya adalah:

bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilai fungsi trigonometrinya.
buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.
buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut istimewa yang telah kita pelajari sebelumnya. Perhatikan gambar berikut ini:

Berdasarkan yang kita peroleh diatas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = cos x dengan meletakan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut:

Grafik Fungsi Tangen

Untuk membuat grafik fungsi y = tan x, maka yang Langkah-langkahnya adalah:

bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilai fungsi trigonometrinya.
buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.
buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut istimewa yang telah kita pelajari sebelumnya.

Perhatikan gambar berikut ini:

Berdasarkan yang kita peroleh di atas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = tan x dengan meletakan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut:

Kesimpulan dari a) sampai dengan d) dapat disimpulkan pada gambar dibawah ini:

Untuk kita lebih memahami lagi terkait dengan grafik fungsi trigonometri, maka kalian lihat beberapa contoh dibawah ini.

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI BENTUK Y = A Sin b (X ±C) ±K

Sebagaimana telah diperoleh pada pembelajaran sebelumnya, bahwa fungsi trigonometri sinus, cosinus dan tangen adalah bentuk fungsi yang periodik. Fungsi periodic adalah fungsi yang sifatnya berulang-ulang secara teratur. Karena bersifat periodic, berarti ada periodenya.

Periode bisa kita sebut juga sebagai siklus yaitu pengulanagn hal yang sama setelah suatu selang tertentu. Fungsi y = sin x akan membentuk siklus/periode setiap 3600. Hal ini bermakna bahwa setelah x mencapai 3600, maka grafik fungsi y = sin x akan mengulang kembali ke awal.

Supaya lebih jelas kalian bisa melihat dari ilustrasi berikut ini!

Grafik Fungsi Sinus

Ingat kembali bentuk fungsi y = sin x, untuk 00 ≤ 𝑥 ≤ 3600 sebagai berikut:

Fungsi y = sin x mempunyai nilai maksimum di y = 1 dan nilai minimum di y = -1. Nilai maksimum atau nilai minimum untuk y = 1, maka y = 1 disebut juga sebagai amplitude dari grafik fungsi y = sin x.

Perhatikan pula bahwa grafik fungsi y = sin x mempunyai periode sejauh 3600 untuk membentuk satu gelombang.