GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA

 

GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIA

A.    PENGERTIAN SEGITIGA

        Perhatikan sisi-sisinya, ada berapa sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC? Sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC adalah AB, BC, dan AC. Sudut-sudut yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut.

                  a.       sudut A atau sudut BAC atau sudut CAB.

                  b.      sudut B atau sudut ABC atau sudut CBA.

                  c.       sudut C atau sudut ACB atau sudut BCA.

                      Jadi, ada tiga sudut yang terdapat pada Δ ABC.

                   Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut :

             Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga

              buah titik  sudut. Bangun segitiga dilambangkan dengan ∆.  Jumlah sudut pada

              segitiga besarnya 180⁰.

 

 

B.    JENIS-JENIS SEGITIGA

        Jenis-jenis suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkan :

a.     Panjang Sisinya

1.     Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidak sama panjang. Pada gambar dibawah ini  merupakan segitiga sembarang dimana AB tidak sama dengan BC tidak sama dengan AC.

2.     Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi sama panjang. Pada gambar dibawah ini merupakan segitiga sama kaki ABC dengan AB = AC.

3.     Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah sisi sama panjang dan tiga buah sudut sama besar yaitu 60⁰. Mempunyai 3 simetri lipat. Mempunyai 3 simetri putar. Segitiga  pada gambar dibawah ini merupakan segitiga sama sisi.

 

b.     Besar Sudutnya

1.     Segitiga lancip adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga sudut-sudut yang terdapat pada segitiga tersebut besarnya antara 0° dan 90°.

2.     Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yaitu > 90⁰.

3.     Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (besarnya 90°).

 

 

 

 

 

 

Dalam segitiga siku-siku panjang sisi berat dari sudut siku-siku setengah daripada sisi miring. Kalau panjang sebuah garis berat ke sebuah sisi, setngah daripada sisi itu, maka sisi itu ialah sisi miring sebuah segitiga siku-siku.

Rumus Keliling Segitiga:

Keliling = panjang sisi 1 + panjang sisi 2 + panjang sisi 3

 

Rumus Luas Segitiga:

Luas =  alas × tinggi

         2

 

 

 

 

 

 

Teorema Heron :

Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.

 

 

     1.  Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A.

                 2. Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B.

     3. Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C.

 

     Dalil Pythagoras  :

     Pythagoras menyatakan bahwa:

c² =  a² + b²

b² = c² – a²

a² = c² – b²

 

 

       Keterangan:

       a : sisi datar (Panjang dari sisi terpanjang/hipotenusa, selalu terletak diseberang

            sudut siku-sikunya.)

      b : sisi tegak

      c : sisi miring

Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas,         maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.

 

c.     Segitiga Istimewa

Segitiga istimewa merupakan segitiga yang memiliki sifat-sifat khusus (istimewa), baik mengenai hubungan panjang sisi-sisinya maupun hubungan besar sudut-sudutnya. Yang merupakan segitiga istimewa di antara jenis-jenis segitiga adalah :

-        Segitiga siku–siku

-        Segitiga sama kaki

-        Segitiga sama sisi

 

C.    SIFAT-SIFAT SEGITIGA

1.   Segitiga Siku-Siku  

            Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (besarnya 90°). Pada Gambar di bawah ini, Δ ABD siku-siku di titik B. Segitiga siku-siku dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang dengan menarik salah satu garis diagonalnya. Perhatikan gambar berikut:

Bidang ABCD adalah persegi panjang. Dengan menarik diagonal AD, akan terbentuk dua segitiga siku-siku yang sama dan sebangun (kongruen) yaitu ΔABD dan ΔACD. Segitiga siku-siku mempunyai dua sisi yang mengapit sudut siku-siku dan satu sisi miring (hypotenusa).

            ΔABC mempunyai ciri-ciri:

AB dan AC sebagai sisi siku-siku, BC sebagai sisi miring (hypotenusa) dan sudut CAB atau sudut A adalah sudut siku-siku. Dalam sebuah segitiga siku-siku, sisi miring selalu terletak di depan sudut siku-siku.

2.   Segitiga Sama Kaki

               Dua buah segitiga siku-siku yang kongruen dapat membentuk sebuah segitiga sama kaki dengan mengimpitkan salah satu sisi siku-siku yang sama panjang dari kedua segitiga tersebut. Perhatikan gambar berikut:

ΔABD dan ΔDBC adalah dua segitiga siku-siku yang kongruen. Sisi BD adalah sisi siku-siku yang sama panjang dari kedua segitiga tersebut. Jadi ΔACD adalah segitiga sama kaki dengan sisi AD=DC.

Di dalam segitiga sama kaki terdapat :

   ·    Dua sisi yang sama panjang, sisi tersebut sering disebut kaki segitiga.

                      ·   Dua sudut yang sama besar yaitu sudut yang berhadapan dengan sisi yang

                      panjangnya sama.

                      ·   Satu sumbu simetri adalah garis yang membagi suatu bangun menjadi dua bagian

                     sama besar.

            Sumbu simetri ada dua macam yaitu:

Ø  Simetri Lipat adalah jumlah lipatan yang dapat dibentuk oleh suatu bidang datar

     menjadi 2 bagian yang sama besar

Ø  Simetri Putar adalah jumlah putaran yang dapat dilakukan terhadap suatu bangun

    datar di mana hasil putarannya akan membentuk pola yang sama sebelum diputar,

    namun bukan kembali ke posisi awal

Segitiga sama kaki merupakan bangun simetri lipat dan dapat menempati bingkainya dalam dua cara, yaitu :

3.   Segitiga Sama Sisi

Tiga buah garis lurus yang sama panjang dapt membentuk sebuah segitiga sama sisi dengan cara mempertemukan setiap ujung garis satu sama lainnya.

Gambar (i) di atas menunjukkan gambar tiga garis lurus yang sama panjang, yaitu AB=BC=CA. Apabila ujung-ujung ketiga garis tersebut saling dipertemukan, A dengan A, B dengan B, dan C dengan C, maka akan terbentuk segitiga sama sisi ABC seperti terlihat pada gambar (ii) di atas.

Di dalam segitiga sama sisi terdapat :

1.      Tiga sisi yang sama panjang.

2.      Tiga sudut yang sama besar.

                              3.      Tiga sumbu simetri

 

D.   GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA

1.     Garis Tinggi

              Garis tinggi yaitu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan tegak lurus terhadap sisi di depannya. Ketiga garis tinggi melalui satu titik yang disebut titik tinggi. AH, BI, dan CJ merupakan garis tinggi.

              Sesuai dengan definisinya garis tinggi tidak selalu dalam posisi vertikal tetapi dapat juga miring bahkan horizontal. Sebagai ilustrasi, misalkan tinggi Doni 1,5 meter, tentunya tinggi doni tidak berubah ketika ia tidur dan tetap diukur dari ujung kaki sampai ujung kepala. Karena segitiga memiliki tiga titik sudut yang dapat dianggap sebagai puncak maka ada tiga buah garis tinggi suatu segitiga yang  berpotongan di suatu titik yang disebut sebagai orthocenter.

2.     Garis Berat

              Garis berat yaitu garis yang ditarik dari titik sudut ke pertengahan sisi di hadapannya. Ketiga garis berat melalui satu titik yang disebut titik berat. Titik berat membagi masing-masing garis berat dengan perbandingan 2 : 1.

           Pada gambar di atas, garis berat ditandai dengan garis warna biru, yaitu AD, CF, dan BE. Ketiga Garis berat tersebut berpotongan di titik P, yang merupakan titik berat. Titik berat merupakan titik pusat massa (bermanfaat dalam hal keseimbangan). Perbandingan garis berat adalah AP : PD = BP : PE = CP : PF = 2 : 1

              Karena segitiga memiliki tiga sudut, maka terdapat tiga sudut dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik yang disebut titik berat (centroid). Titik berat ini merupakan pusat kesetimbangan segitiga. Jika sebuah segitiga digantungkan tepat pada titik beratnya maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horizontal.

3.     Garis Bagi

           Garis bagi yaitu garis yang ditarik dari sebuah titik sudut dan membagi sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar. Ketiga garis bagi melalui satu titik yang disebut titik bagi. Titik bagi merupakan pusat lingkaran dalam segitiga.

4.     Garis Sumbu

           Garis sumbu merupakan garis yang tegak lurus pada pertengahan garis/sisi itu.

Perhatikan gambar dibawah, garis sumbu ditandai dengan garis yang berwarna biru. Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik, yaitu titik O dan merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga.

 

E.   SEGITIGA SAMA DAN SEBANGUN

Untuk membuktikan, bahwa 2 buah , harus diketahui atau diperlihatkan, bahwa 3 buah unsur segitiga yang satu sama dengan 3buah unsur segitiga yang satu lagi. Unsur unsur ini harus memenuhi beberapa syarat:

1.      Unsur itu yang satu tidak bergantung kepada yang lain, jadi tak mungkin umpamanya

kita mengambil tiga pasang sudut, karena sudut yang ketiga bergantung kepada kedua buah sudut yang lainnya.

2.      Unsur-unsur itu harus seletak, yang berarti unsur-unsur pada kedua buah segitiga itu

harus mengambil tempat yang sama, jadi urutan-urutan itu sama.

Hal-hal yang dapat kita terangkan berdasarkan  lima hal sama dan sebangun :

I.a Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika salah satu sisinya dan sebangun kedua

     buah sudut yang terletak pada sisi itu sama. 

I.b Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika salah satu sisinya, satu sudut pada sisi itu

     dan sudut dihadapannya sama.

II. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisi dan sudut apitnya sama.

III. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika ketiga sisinya sama.

IV. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisi dan sudut dihadapan salah

satu sisi sama, asal sudut dihadapan  sisi yang satu lagi sejenis.

Dua segitiga yang kongruen (sama dan sebangun ) apabila memenuhi salah satu dari 4

syarat berikut :

Syarat 1 dua sudut dan satu sisi yang diapitnya sama besar.  

Syarat II ketiga sisi yang seletaknya bersesuaian sama panjang

Syarat III dua buah sisi dan sudut yang diapitnya yang letakny bersesuaian sama

      besar.

Syarat IV satu sisi dengan salah satu sudut pada sisi itu dan sudut yang di hadapan

      sisi   tersebut yang letaknya bersesuaian adalah sama besar.

 

 

F.   DALIL-DALIL SEGMEN GARIS PADA SEGITIGA

1.    Garis Sumbu

Yaitu segmen garis yang melalui titik tengah sisi segitiga dan tegak lurus pada sisi tersebut.

Dalil 1 : Ketia garis sumbu berpotongan pada satu titik, yang disebut titik sumbu.

 

Bukti :

ΔABC adalah segitiga sembarang dengan k garis sumbu AB , l garis sumbu BC. Titik O adalah titik potong garis k dan l.

 

Dalil 2 : Titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik sudut segitiga.

    

Dalil 3 : Titik sumbu segitiga adalah titik pusat lingkaran luar segitiga.

           

 

2.    Garis Tinggi

Yaitu garis yang melalui sebuah titik sudut dan tegak lurus pada sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. Dalil- dalil yang berlaku adalah sebagai berikut :

 

3.    Dalil Stewart

 

4.    Garis Bagi

Yaitu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga sedemikian sehingga membagi sudutnya menjadi dua bagian yang sama besar karena karena segitiga mempunyai 3 sudut, maka segitiga mempunyai tiga garis bagi. Ketiga garis bagi tersebut akan berpotongan pada satu titik.

Dalil : Garis bagi sudut suatu segitiga membagi sisi yang di hadapannya menjadi dua bagian dengan perbandingan sebagai sisi-sisi yang berdekatan.

Pada gambar dibawah, AM adalah garis bagi, maka :

 

5.    Garis Berat

Garis berat sebuah segitiga adalah segmen garis yang melalui sebuah titik sudut dan titik tengah sisi dihadapan titik sudut tersebut. Dalil-dalil yang berlaku bagi garis berat segitiga adalah sebagai berikut :

Dalil 1 : ketiga garis berat berpotongan berpotongan pada satu titik, yang disebut titik

  berat.

            Dalil 2 : ketiga garis berat dalam sebuah segitiga berpotongan di titi berat dengan

  perbandingan panjang bagian-bagiannya adalah 2 : 1, dengan bagian

  terpanjang dekat dengan titik sudut.

            Dalil 3 : jika t_a  adalah panjang garis berat yang ditarik dari titik sudut A ke sisi

  dihadapannya a, maka berlaku :

 

 

G.    PENERAPAN SEGITIGA DALAM KEHIDUPAN SEHARI -

     HARI 

   Dari sekian banyak permasalahan yang ada di sekitar kita, ada kalanya dalam menyelesaikan permasalahan tersebut kita membutuhkan konsep-konsep yang berhubungan dengan segitiga untuk menyelesaikannya. Dari konsep segitiga yang penting dan banyak penerapannya adalah keliling dan luas segitiga. Agar lebih paham, perhatikan contoh-contoh berikut ini.

 

Contoh Soal:

1. Sebuah lapangan berbentuk segitiga dengan panjang masing-masing sisinya adalah 2a m, 4a m, dan 6a m. Jika keliling dari lapangan tersebut sebesar 144 m, tentukanlah panjang sisi terpendek dari lapangan tersebut.

Penyelesaian:
K=a+b+c
144=2a+4a+6a
144=12a
a = 12 meter

Jadi,panjangsisiterpendeknyaadalah 2a = 2 × 12 = 24 m.

 

2. Pak Ifni ingin menanam rumput pada bekas kebun bunganya. Kebun tersebut berbentuk segitiga siku-siku dengan ukuran 6 m × 10 m. Harga bibit rumput Rp25.000,00 per m². Tentukanlah uang yang harus dikeluarkan Pak Ifni.

 

Penyelesaian:
L=½×alas×tinggi
= ½ × 6 × 10 = 30 m²

 

Karena harga bibit Rp25.000,00 per m² maka Pak Ifni harus mengeluarkan uang sebanyak: 

30 × Rp25.000,00 = Rp75.000,00.