Untuk melengkapi sumber bacaan materi Trasformasi Geometri dan Fungsi & Pemodelan Matematika, maka terdapat sebuah modul yang dibuat oleh Tim Kementrian yang bersumber dari https://repositori.kemdikbud.go.id/
Setelah Kalian selesai mempelajari fungsi eksponen, mari kita kembangkan pembahasan kita pada materi logaritma. Untuk memahami pengertian logaritma dan sifatnya, coba Kalian perhatikan pernyataan \(p \times q = r\). Bagaimanakah menyatakan p dalam q dan r? Jawabnya adalah p= \(\frac{r}{q}\), dengan 𝑞 ≠ 0. Kemudian kita perhatikan pernyataan \(3^{2} = 9\). Bagaimanakah menyatakan 3 dalam 2 dan 9? Jawabnya 3= \(\sqrt[2]{9}\) . Bagaimanakah menyatakan 2 dalam 3 dan 9? Jawabnya 2 adalah pangkat dari 3 sehingga \(3^{2}\) = 9. Jika kita ambil secara umum \(𝑎^{𝑦}\) = 𝑥, maka y adalah eksponen dari a sehingga \(𝑎^{𝑦}\) = 𝑥, dan pernyataan untuk y ini bisa ditulis dalam bentuk 𝑦 =\(\log_a{x}\) atau 𝑥 dengan a adalah bilangan dasar atau basis dan y adalah eksponennya. Untuk lebih jelas, coba perhatikan tabel berikut.
Dari tabel di atas dapat dilihat antara lain:
Sehingga disimpulkan \(2^{x}\) = y <=> \(\log_2{y}=x\)
Jika bilangan pokoknya a, dari \(\log_𝑎{y}=x\) atau \(x=\log_a{y}\) diperoleh:
\[𝑓^{−1}(y) = \log_𝑎{y}\]
sehingga
\[𝑓^{−1}(𝑥) = \log_𝑎{x}\]
Jika 𝑓−1 dinamakan g(x), maka 𝑔(𝑥) = \(\log_a{x}\). Fungsi 𝑔: 𝑥 → 𝑎 log 𝑥 dinamakan fungsi
logaritma.
Dari paparan di atas cukup jelas bahwa logaritma secara dasar merupakan operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponen. Artinya, untuk mencari nilai dari suatu bilangan logaritma harus membalikkan fungsi dari eksponensial.
Logaritma didefinisikan sebagai berikut:
Dari definisi bahwa logaritma merupakan invers dari eksponen, maka kita dapat
menurunkan sifat-sifat logaritma dari sifat-sifat eksponen sebagai berikut:
Sifat-sifat logaritma sangat dibutuhkan dalam menyelesaikan masalah-masalah logaritma. Untuk lebih memahami sifat-sifat logaritma, silahkan perhatikan contoh-contoh berikut:
Jika menginginkan penjelasan video bisa melihat tautan video di bawah:
Domain Kodomain dan Rank (Fungsi Logaritma)
Seperti halnya fungsi eksponen kita akan mengingat terkait konsep bilangan negatif, nol dan positif seperti gambar di bawah:
kita akan uji coba semua kedudukan bilangan di atas kepada fungsi logaritma
misal sebuah fungsi logaritma di definisikan sebagai \(f(x)=\log_2{x}\)
bilangan postif (misal kita ambil bilangan positif x = k)
untuk x =k di dapat \(f(k)=\log_2{k}\) terlihat untuk semua domain bilangan positif terdapat rank pada daerah kodomain yang bernilai positif, sehingga terlihat semua bilangan positif memenuhi syarat domain dan kodomain. atau dengan kata lain untuk domain dan kodomain terdefinisi di bilangan positif.
bilangan nol (x = 0)
untuk x = 0 di dapat \(f(0)=\log_2{0}\) terlihat untuk domain bilangan nol tidak terdapat rank yang memenuhi pada daerah kodomain. akan tetapi untuk jika kita ambil \(x = 2^{0}\) terlihat \(f(2^{0})\) = \(\log_2{2^{0}}\) maka di dapat \(f(2^{0}=0\), sehingga kodomain memenuhi untuk bilangan nol.
bilangan negatif (misal kita ambil bilangan negatif x = -k)
untuk x= -k di dapat \(f(-k)=\log_2{-k}\) terlihat untuk semua domain bilangan negatif tidak terdapat rank yang memenuhi pada daerah kodomain, sehingga terlihat domain pada semua bilangan negatif selalu berada pada bilangan positif. Akan tetapi untuk jika kita ambil \(x = 2^{-1}\) terlihat \(f(2^{-1})\) = \(\log_2{2^{-1}}\) maka di dapat \(f(2^{-1}=-1\), sehingga kodomain memenuhi untuk bilangan negatif.
Kesimpulan
Domain => Selalu positif atau y > 0
Kodomain => Semua Bilangan
Asimtot (Fungsi Logaritma)
Pada pembahasan di atas terlihat bahwa fungsi logaritma memiliki domain (x) hanya pada bilangan positif atau dengan katalain x > 0 sehingga tidak memiliki asimtot vertikal atau garis asimtot pada absis (sumbu x) adalah x = 0.
Sedangan pada Kodomain (y) terlihat bahwa fungsi logaritma memenuhi semua bilangan (negatif, nol dan positif), sehingga fungsi logaritma tidak memiliki asimtot datar.
Perlu di ingat untuk asimtot vertikal tidak selalu berada pada x = 0, ini harus melihat dari bentuk fungsi logaritmanya. seperti \(f(x)=\log_2{x}-2\) maka asimtot datar nya adalah x = -2, karena jika asimtot \(\log_2{x}\) adalah x = 0 terlihat x = 0 - 2 = -2.
Kurva Fungsi Logaritma
Logaritma adalah invers dari perpangkatan atau eksponen. Oleh karena itu fungsi
logaritma adalah invers dari fungsi eksponen. Fungsi logaritma didefinisikan sebagai
berikut.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_𝑎{𝑥}\).
a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi 𝑓(𝑥) = \(\log_𝑎{𝑥}\) dengan ketentuan a > 0 dan a tidak sama dengan 1 (0 < a < 1 atau a > 0).
Daerah asal (domain) fungsi 𝑓(𝑥) = \(\log_𝑎{𝑥}\) adalah 𝐷𝑓 = {𝑥 | 𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑹}
Daerah hasil (range) fungsi 𝑓(𝑥) = \(\log_𝑎{𝑥}\) adalah 𝑅𝑓 = {𝑦 | 𝑦 ∈ 𝑹}
Menggambar sketsa grafik fungsi logaritma dapat dilakukan dengan langkah-langkah
berikut.
Buat daftar atau tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai-nilai x dengan nilainilai 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_𝑎{𝑥}\) .
Titik-titik dengan koordinat (x, y) yang diperoleh digambarkan pada bidang kartesius, kemudian dihubungkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_𝑎{𝑥}\) .
Menggambar Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1
Sifat-sifat fungsi logaritma 𝑓: 𝑥 → \(\log_𝑎{𝑥}\) dengan basis a > 1 dapat dipelajari melalui grafik fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_𝑎{𝑥}\) .
Contoh 1
Gambar grafik fungsi y = f(x) = \(\log_2{𝑥}\) ( x > 0 dan x ∈ R )
Jawab:
Tabel yang menunjukkan hubungan antara x dengan y = f(x) = \(\log_2{x}\) sebagai berikut.
Setiap titik (x, y) yang diperoleh pada tabel di atas digambar pada bidang kartesius, selanjutnya titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\) berikut.
Berdasarkan grafik di atas, kita dapat mempelajari sifat-sifat fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\) sebagai berikut.
Jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) = \(\log_2{x}\) juga menjadi besar, tetapi pertambahan nilai y lebih lambat dibandingkan dengan pertambahan nilai x.
Fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\) adalah fungsi monoton naik, sebab grafik ini naik dari kiri-bawah ke kanan-atas. Dalam bahasa logika matematika ditulis:
\[x2 > x1 -> \log_2{x_2} > \log_2{x_1}\]
Grafik fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\) memotong sumbu X di titik (1, 0).
d. Grafik fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\) selalu berada di sebelah kanan sumbu Y atau x > 0. Ini berarti grafik fungsi logaritma y = f(x) = 2 log x tidak pernah memotong sumbu Y. Sumbu Y bertindak sebagai asimtot tegak bagi fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\).
Fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\) terdefinisi untuk x > 0 dan x ∈ R, sehingga domain fungsi f adalah Df = {x | x > 0 dan x ∈ R }.
Fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\) dapat bernilai positif, nol, atau negatif, sehingga range fungsi f adalah Rf = {y | y ∈ R }.
Fungsi logaritma y = f(x) = \(\log_2{x}\) merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu
Contoh 2
Gambar grafik fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) ( x > 0 dan x ∈ R )
Jawab
Tabel yang menunjukkan hubungan antara x dengan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) sebagai
berikut.
Setiap titik (x, y) yang diperoleh pada tabel di atas digambar pada bidang kartesius, selanjutnya titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
\(\log_\frac{1}{2}{x}\) berikut.
Berdasarkan grafik di atas, kita dapat mempelajari sifat-sifat fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) sebagai berikut.
Jika nilai x bertambah besar maka nilai 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) semakin kecil dengan pengurangan yang semakin melambat.
Fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) adalah fungsi monoton turun, sebab grafik ini turun dari kiri-atas ke kanan-bawah. Dalam bahasa logika matematika ditulis:
Grafik fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\)memotong sumbu X di titik (1, 0).
Grafik fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) selalu berada di sebelah kanan sumbu Y atau x > 0. Ini berarti grafik fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) tidak pernah memotong sumbu Y. Sumbu Y bertindak sebagai asimtot tegak bagi fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) .
Fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) terdefinisi untuk x > 0 dan x ∈R, sehingga domain fungsi f adalah Df = {x | x > 0 dan x ∈R }.
Fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) dapat bernilai positif, nol, atau negatif, sehingga range fungsi f adalah Rf = {y | y ∈R }.
Fungsi logaritma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
Setelah Kalian mempelajari tentang grafik fungsi logaritma di atas, maka secara umum dapat kita simpulkan sifat-sifat fungsi logaritma sebagai berikut:
Selalu memotong sumbu X di titik (1,0).
Merupakan fungsi kontinu.
Tidak pernah memotong sumbu
Merupakan fungsi kontinu.
Tidak pernah memotong sumbu Y sehingga dikatakan sumbu Y sebagai asimtot tegak.
f merupakan fungsi naik jika a > 1 dan merupakan fungsi turun jika 0 < a < 1.
Grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 2 log 𝑥 dan 𝑓(𝑥) = \(\log_\frac{1}{2}{x}\) simetris terhadap sumbu X.
Demikian materi hari ini, untuk lebih memahami materi dan sebagai dasar penialaian silahkan kerjakan latihan di bawah:
Gambarkan grafik logaritma \(f(x)=\log_3{x}\) dan \(g(x)=-(\log_3{x})\)
Gambarkan grafik logaritma \(f(x)=\log_2{2x}\) dan \(g(x)=-(\log_2{2x})\)
