FUNGSI EKSPONENSIAL

Materi ini dapat Kalian terapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam bidang kesehatan, ekonomi, fisika, kimia, biologi, teknik dan lain-lain. Sebagai contoh, setelah menyaksikan penyebaran virus Corona sangat cepat dan meluas di berbagai Negara, maka WHO menetapkan kasus Corona yang menyebabkan Covid-19 sebagai pandemi. Penyebaran virus corona kalau tidak segera diantisipasi dengan baik, seperti Distancing Social, Bekerja dan Belajar di Rumah, membiasakan untuk selalu mencuci tangan dan menggunakan masker, menutup tempat hiburan, pasar dan tempat keramaian lainnya akan mengakibat jumlah orang yang tertular akan melonjak mengikuti grafik fungsi eksponen. Simulasi oleh peneliti dari alumni jurusan matematika UI jumlah orang-orang yang tertular jika pemerintah tidak melakukan intervensi dalam meminimalisir interaksi antar manusia akan tampak seperti grafik fungsi eksponen berikut:

Sumber: https://www.liputan6.com/tekno/read/4215379/alumni-matematika-ui-buat-simulasi-3-skenario-pandemi-covid-19-di-indonesia

Sebelumnya anda sudah mempelajari terkait Bilangan Eksponensial, akan tetapi saya akan membawa anda mengingat kembali terkait Bilangan Eksponensial dan Persamaan Eksponen Sial.

Untuk memahami penggunaan sifat-sifat bilangan berpangkat di atas, perhatikan

contoh berikut.

1.  \(2^{3}\times32\)
2.  \(\frac{7^{6}}{49}\)
3.  \((2^{3})^{4}\)
4.  \((a^{2}\times b^{3})^{5}\)
5.  \(\frac{3^{-4}}{3^{2}}\)
6.  \((\frac{p^{-4}}{q^{-2}})^{-3}\)
7.  \(64^{\frac{5}{6}}\)
8. \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}}\)

Jawabannya:

1. \(2^{3}\times32=2^{3}\times2^{5}=2^{3+5}=2^8\)
2. \(\frac{7^6}{49}=\frac{7^6}{7^2}=7^{6-2}=7^4\)
3. \(\left(2^3\right)^4=2^{3\times4}=2^{12}\)
4. \(\left(a^2\times b^3\right)^5=\left(a^2\right)^5\times\left(b^3\right)^5=a^{10}\times\ b^{15}\)
5. \(\frac{3^{-4}}{3^2}=3^{-4-2}=3^{-6}=\frac{1}{3^6}\)
6. \(\left(\frac{p^{-6}}{q^{-2}}\right)^{-3}=\frac{\left(p^{-4}\right)^{-3}}{\left(q^{-2}\right)^{-3}}=\frac{p^{12}}{q^6}\)
7. \({64}^\frac{5}{6}=\left(2^6\right)^\frac{5}{6}=2^{6\times\frac{5}{6}}=2^5\)
8. \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}=\frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}}=\frac{2^\frac{4}{4}}{3^\frac{4}{4}}=\frac{2}{3}\ \ \)

silahkan pelajari video pada tautan berikut jika anda memerlukan penjelasan lebih:

Setelah anda mengingat kembali materi eksponen sebelumnya, kita akan membahas terkait materi Fungsi Eksponensial.

Domain Kodomain dan Rank (Fungsi Eksponensial)

Jika kalian mengingat terkait konsep bilangan maka akan terlihat bahwa semua bilangan terbagi kedalam 3 bagian, seperti gambar di bawah:

kita akan uji coba semua kedudukan bilangan di atas kepada fungsi eksponen

misal sebuah fungsi eksponensial di definisikan sebagai \(f(x)=2^{x}\)

bilangan postif (misal kita ambil bilangan positif x = k)

maka di dapat \(f(k)=2^{k}\) maka terlihat untuk semua domain bilangan positif terdapat rank pada daerah kodomain yang bernilai positif, sehingga terlihat semua bilangan positif memenuhi syarat domain dan kodomain. atau dengan kata lain untuk domain dan kodomain terdefinisi di bilangan positif.

bilangan nol (x = 0)

maka di dapat \(f(k)=2^{0}=2^{a-a}=\frac{2^{a}}{2^{a}}=1\) maka terlihat untuk domain bilangan nol terdapat rank pada daerah kodomain yang bernilai positif atau bernilai 1, sehingga terlihat untuk domain bilangan nol menghasilkan rank bilangan 1 di domain positif.

bilangan negatif (misal kita ambil bilangan negatif x = -k)

maka di dapat \(f(-k)=2^{-k}=\frac{1}{2{k}}\) maka terlihat untuk semua domain bilangan negatif terdapat rank pada daerah kodomain yang bernilai positif, sehingga terlihat domain pada semua bilangan negatif terdapat rank pada daerah kodomain pada bilangan positif.

Kesimpulan

Domain => Semua Bilangan

Kodomain => Selalu positif atau y > 0

Asimtot (Fungsi Eksponensial)

Pada pembahasan di atas terlihat bahwa fungsi eksponensial memiliki domain (x) semua bilangan (positif, nol dan negatif) sehingga tidak memiliki asimtot vertikal atau garis asimtot pada absis atau sumbu x.

Sedangan pada Kodomain (y) terlihat bahwa fungsi eksponensial hanya berada pada bilangan positif atau y > 0, maka ordinat atau sumbu y dibatasi oleh y = 0. hal ini menyatakan bahwa asimtot datar atau garis asimtot pada ordinat (sumbu y) adalah y = 0.

Perlu di ingat untuk asimtot datar tidak selalu berada pada y = 0, ini harus melihat dari bentuk fungsi eksponenya. seperti \(f(x)=2^{x}-2\) maka asimtot datar nya adalah y = -2, karena jika asimtot \(2^{x}\) adalah y = 0 terlihat y = 0 - 2 = -2 .

Kurva Fungsi Eksponensial

Untuk memahami fungsi eksponen, coba Kalian perhatikan masalah berikut. Seorang pedagang baju selalu mencatat penjualan dagangannya setiap hari seperti dalam tabel berikut:

Pada bentuk urutan dari baris ke-1 dengan baris ke-3 di atas merepresentasikan suatu fungsi satu-satu dengan domain bilangan asli.

Fungsi \(𝑓: 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 2^{𝑥}\) merupakan salah satu fungsi eksponen, sehingga perkembangan baju terjual tersebut merupakan salah satu contoh dari fungsi eksponen yang domainnya adalah bilangan cacah.

Fungsi \(𝑓: 𝑥 → 𝑎^{𝑥}\) , dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 disebut fungsi eksponen, yang mempunyai domain bilangan real dan range bilangan positif. Bentuk umum fungsi eksponen adalah \(𝑓: 𝑥 → 𝑎^{𝑥}\) atau \(f(𝑥) = 𝑎^{𝑥}\) dengan a > 0 dan a ≠ 1. Pada fungsi eksponen \(f(𝑥) = 𝑎^{𝑥}\), 𝑥 disebut peubah dan daerah asal (domain) dari fungsi eksponen adalah himpunan bilangan real yaitu Df : {−∞ < 𝑥 < +∞, 𝑥 ∈ 𝑅}

Dari uraian di atas, Kalian dapat menyimpulkan bahwa fungsi eksponen adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota bilangan real \(k𝑎^{𝑥}\), dengan k suatu konstanta dan a bilangan pokok (basis) dengan a > 0 dan a ≠ 1.

Fungsi eksponen ini adalah salah satu fungsi yang cukup penting dalam matematika. Fungsi eksponen banyak sekali penerapannya, dan tidak hanya dalam matematika saja tetapi banyak pula berkaitan dengan pertumbuhan dan peluruhan. Selain itu nanti kita akan melihat, bahwa fungsi ini erat sekali hubungannya dengan fungsi logaritma.

Contoh fungsi eksponen:

1. \(𝑓(𝑥) = 3^{x+1}\)

2. \(𝑓(𝑥) = 4^{2x}\)
3. \(f(𝑥) =(\frac{1}{3})^{2x}\)

Menggambar sketsa grafik fungsi eksponen dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

1. Buat daftar atau tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai-nilai x dengan nilainilai y = f(x) = \(a^{x}\).
2. Titik-titik dengan koordinat (x, y) yang diperoleh digambarkan pada bidang kartesius, kemudian dihubungkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi eksponen y = f(x) = \(a^{x}\).

Sebagai contoh kita akan menggambar grafik fungsi \(f(x)=2^{x}\) dan \(g(x)=(\frac{1}{2})^{x}\).

Mula-mula dibuat tabel nilai fungsi seperti berikut:

Jika kita gambarkan pada diagram kartesius seperti di bawah:

Dengan memperhatikan gambar di atas terlihat bahwa:

• Domain kedua fungsi adalah himpunan semua bilangan real, Df = {x | x ϵ Ɍ} atau (-∞, ∞).
• Rangenya berupa himpunan semua bilangan real positif, Rf = {y | y > 0, y ϵ Ɍ } atau (0, ∞).
• Kedua grafik melalui titik (0, 1).
• Kurva mempunyai asimtot datar yaitu garis yang didekati fungsi tapi tidak akan berpotongan dengan fungsi, sumbu X (garis y = 0).
• Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y
• Grafik \(𝑓(𝑥) = 2^{𝑥}\) merupakan grafik yang monoton naik, sedangkan grafik \(𝑔(𝑥) = (\frac{1}{2})^{𝑥}\) merupakan grafik yang monoton turun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif).

Dari grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa fungsi \(𝑓: 𝑥 → 𝑎^{𝑥}\) , untuk 𝑎 > 1 adalah fungsi naik dan untuk 0 < 𝑎 < 1 adalah fungsi turun. Karena range dari 𝑓 adalah bilangan positif dan \(𝑎^{0}\) = 1, maka grafik fungsi \(𝑓: 𝑥 → 𝑎^{𝑥}\) untuk 𝑎 > 0 terletak di atas sumbu 𝑥 dan melalui

titik (0, 1).

Contoh 2.

Lukislah grafik fungsi 𝑓(𝑥) = \((\frac{1}{3})^{x}\) pada interval -3 ≤ 𝑥 ≤ 3

Jawab

Buat tabel nilai fungsi berikut

Dari tabel nilai fungsi kita dapatkan pasangan koordinat kartesius sebagai berikut: (-3, 27), (-2, 9), (-1, 3), (0, 1), (1,\(\frac{1}{3}\)) , (2,\(\frac{1}{9}\)) , (3,\(\frac{1}{27}\)).

Sketsa grafik fungsi 𝑓(𝑥) = \((\frac{1}{3})^{x}\)

Demikian materi hari ini, untuk lebih memahami materi dan sebagai dasar penialaian silahkan kerjakan latihan di bawah:

1. Gambarkan grafik eksponen \(f(x)=3^{x}\) dan \(g(x)=-(3^{x})\)
2. Gambarkan grafik eksponen \(f(x)=2^{2x}\) dan \(f(x)=-(2^{2x})\)