بســـم الله الرّحــمن الرّحـــيم
PERMUTASI DAN KOMBINASI
Bagaimana keadaan kamu sekarang semoga sehat selalu dan tetap semangat untuk belajar, sebelum kita memulai membahas materi saya ingatkan kembali jangan lupa pesan Ibu ingat 3M (Menjaga Jarak, Memakai Masker dan Mencuci Tangan) serta jaga selalu Iman dan Imun kalian.
kalau sebelumnya saya membahas tentang faktorial maka kali ini saya akan membahas tentang permutasi dan kombinasi, sengaja saya kebut materi agar kalian dapat mengikuti materi pada matematika peminatan karena materi ini merupakan materi prasyarat tentang Binomial Newton.
Agar tidak betele-tele silahkan simak dan pelajari pembahas di bawah
untuk memahami betul perbedaaan tentang Permutasi dan Kombinasi silahkan simak video berikut:
Permutasi
Materi pertama yang akan kita bahas pada artikel ini adalah permutasi. Permutasi mempelajari mengenai menyusun k objek dari n objek dengan cara memperhatikan urutan.
Ada tiga contoh permutasi yang sering timbul antara lain: permutasi dari unsur-unsur yang berbeda, permutasi dengan beberapa unsur yang sama, serta permutasi siklis. Selengkapnya simak baik-baik ulasan berikut ini.
Macam dan Formula atau Rumus Permutasi
1. Permutasi dari n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas n elemen
Apabila terdapat unsur yang berbeda dan diambil n unsur, maka banyaknya susunan atau permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut merupakan P(n,n) = n! atau nPn = n!
Sebagai contoh:
Untuk menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara. Panitia kemudian akan memasang kelima bendera yang merupakan bendera dari lima negara yang hadir.
Banyak cara untuk panitia menyusun kelima bendera tersebut yaitu?
Jawab:
Dari kelima bendera yang ada, berarti kita peroleh n = 5, sehingga banyak susunan bendera yang mungkin yakni:
5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.
2. Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas r unsur dari n elemen dengan r ≤ n
Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan r≤n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah:
Catatan:
Syarat: urutan harus diperhatikan.
Sebagai contoh:
Banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia yaitu…
Jawab:
Banyak siswa, n = 8
Ketua, sekretaris serta bendahara (banyak pilihan objek), r = 3
Sehingga:
3. Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama
Keterangan:
n = menunjukan banyaknya elemen seluruhnya
k1 = menunjukan banyaknya elemen kelompok 1 yang sama
k2 = menunjukan banyaknya elemen kelompok 2 yang sama
…
kt = menunjukan banyaknya elemen kelompok kt yang sama
t = 1,2,3,…
Sebagai cottoh:
Banyaknya cara penyusunan untuk kata ”BASSABASSI” yaitu…
Jawab:
Dari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf adalah (n) = 10
k1 = huruf B = 2
k2 = huruf A = 3
k3 = huruf S = 4
k4 = huruf I = 1
4. Permutasi Siklis
Permutasi siklis merupakan suatu permutasi melingkar (urutan melingkar).
nPsiklis = (n-1)!
Sebagai contoh:
Dari 5 orang anggota keluarga akan segera duduk mengelilingi satu meja bundar, banyaknya cara penyusunan yang bisa dibikin dari 5 orang tersebut yaitu…
Jawab:
Banyak orang (n) = 5, sehingga:
5Psiklis = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.
5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur
Pn = nk
Contoh:
Banyak susunan dari 3 bilangan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 yaitu…
Jawab:
- Banyaknya susunan 3 bilangan, yang artinya bilangan ratusan, k = 3
- Banyak angka yang akan disusun adalah n = 6
- Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4, 5, serta 6, sehingga:
P6 = 63 = 216 susunan.
Kombinasi
Sepeti yang telah dijelaskan di atas, kombinasi merupakan suatu susunan yang tidak memperhatikan urutan.
Sebagai contoh permasalahan yang memakai kombinasi merupakan mengetahui banyaknya cara untuk mengambil 3 bola dari 5 bola merah serta 2 bola hijau yang tersedia dalam suatu kotak.
Di dalam kotak tersebut berisi beberapa warna bola yang berbeda yaitu bola merah, merah, dan kuning.
Cara pengambilan lain yang mungkin merupakan merah, kuning merah, dan yang lainnya.
Sebagai contoh bola warna merah itu kita beri nomor satu hingga dengan lima serta bola kuning juga diberi nomor satu sampai dua.
Cara pengambilan bola pertama yang berwarna merah dengan nomor dua akan sama dengan terambilnya bola yang berwarna merah dengan nomor satu.
Begitu juga dengan bola dengan nomor dan juga warna yang berbeda. Masih bingung? Tenang, coba perhatikan tabel di bawah ini.
Mengetahui jumlah banyaknya cara untuk menyusun k objek dari n objek yang tersedia maka kita memerlukan banyak waktu dan tentu tidak efektif.
Di dalam ilmu peluang, terdapat suatu rumus yang bisa kita pakai untuk menyusun k objek dari n objek yang tersedia.
Rumus tersebut merupakan rumus dalam kombinasi. Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia akan dinyatakan dalam rumus kombinasi seperti di bawah ini:
Perbedaan Permasalah Permutasi dan Kombinasi
Setelah mengetahui apa itu permutasi dan kombinasi, hal yang tak kalah penting untuk dikethui adalah membedakan permasalahan mana yang termasuk ke dalam permutasi ataupun kombinasi.
Permasalahan yang sering muncul biasanya berwujud soal cerita.
Serta kita dituntut supaya dapat membedakan masalah itu termasuk dalam permutasi atau kombinasi. Sehingga kita tidak akan mengalami kesalahan dalam pemakian rumus untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Perhatikan dua contoh kasus di bawah ini:
Kasus pertama: permasalahan permutasi
Susunan panitia yang terdiri atas ketua, wakil ketua, sekretaris, serta bendahara akan dibentuk untuk mensukseskan suatu acara. Susunan panitia itu kemudian akan memilih dari 10 orang terpilih berdasarkan kriteria yang sudah ditetapkan. Jadi, berapakan banyaknya cara untuk menyusun panitia hingga bisa terbentuk?
Kasus ke dua: permasalahan kombinasi
Enam buku akan dipilih dari lima buku Matematika, tiga buku Fisika, serta empat buku Kimia untuk akan disumbangkan ke sekolah untuk para anak jalanan.
Hitunglah berapa banyaknya cara yang bisa dilakukan untuk memilih keenam buku itu?
Dalam kasus pertama, susunan urutan akan menjadi satu sisi yang perlu untuk diperhatikan. Kedudukan dari ketua untuk orang pertama tentu akan berbeda dengan kedudukan ketua yang ditempati oleh orang ke tiga.
Begitu pula untuk kududukan di posisi lainnya.
Sementara di contoh kasus yang kedua, pemilihan buku pada urutan pertama dan kedua contohnya diambil buku Matematika pertama serta buku Matematika ke dua, dimana keduanya adalah buku Matematika.
Sehingga, urutan pada kasus kedua tidak dipehatikan.
Intinya, rumus permutasi dipakai untuk suatu kasus atau permasalahan yang memperhatikan urutan. Sementara untuk kombinasi dipakai untuk menyelesaikan permasalahan yang tidak memperhatikan urutan.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1.
Terdapat 3 orang anak yang akan duduk bersama di satu bangku yang memanjang. Ada berapakah cara mereka untuk duduk bersama pada bangku tersebut?
Jawab:
Ketiga anak akan duduk bersama, maka kita akan menggunakan rumus permutasi P(3,3)
P(3,3) = 3 = 2x2x1 = 6
Sehingga ketiga anak tersebut dapat duduk bersama dengan menggunakan 6 cara.
Soal 2.
Ada berapakan cara untuk menyusun dua huruf dari satu kata “HIDUP”?
Jawab:
Cara untuk menyusun 2 huruf dari 5 huruf, maka kita juga akan memakai rumus permutasi P(5,2)
P(5,2) = (5!)/(5-2) =(5x4x3!)/(3)! = 5×4 =20
Sehingga cara menyusun dua huruf dari satu kata HIDUP ada sebanyak 20 cara.
Soal 3.
Dalam suatu kelas terdiri dari 7 murid perempuan dan juga 3 murid laki-laki. Dari kelas itu kemudian akan dipilih 3 orang murid secara acak. Maka peluang bahwa yang terpilih ketiga-tiganya perempuan yaitu …
A. 2/91
B. 1/12
C. 1/3
D. 1/5
E. 3/5
Jawab:
Banyaknya cara untuk memilih 3 murid dari 10 murid secara acak (contohnya dengan variabel n):
Dalam permasalahan ini, urutan tidak menjadi hal yang perlu diperhatikan, sehingga rumus yang digunakan adalah kombinasi.
Banyaknya cara untuk memilih 3 murid dari 10 murid secara acak (misalkan dengan variabel n):
Banyaknya cara untuk memilih 3 murid perempuan dari 7 murid perempuan (contohnya dengan variabel k):
Peluang bahwa yang terpilih ketiga-tiganya perempuan adalah:
Jawabannya: A
Jika kamu membutuhkan penerangan contoh secara, visual silahkan simak video berikut:
Kelas XII MIPA 1:
Link (klik gambar mata di samping): 👀
Kode Kelas : qrtvm33
Kelas XII MIPA 2:
Link (klik gambar mata di samping): 👀
Kode Kelas : d62hyuv
Kelas XII MIPA 3:
Link (klik gambar mata di samping): 👀
Kode Kelas : sir5vrf
Kelas XII MIPA 4:
Link (klik gambar mata di samping): 👀
Kode Kelas : ultb4pg
Kelas XII MIPA 5:
Link (klik gambar mata di samping): 👀
Kode Kelas : g4ykrog
Kelas XII MIPA 6:
Link (klik gambar mata di samping): 👀
Kode Kelas : ed6boyy
Kelas XII MIPA 7:
Link (klik gambar mata di samping): 👀
Kode Kelas : gapjtqi
Absensi PJJ Smarter Kelas XII
Link (klik gambar mata di samping): 👀
Tidak ada komentar:
Posting Komentar