CANGKIR KOSONG: PEMBAGIAN POLINIAL DENGAN AX + B

MATEMATIKA MINAT PERTEMUAN 19/10/2020

Selain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak, operasi hitung suku banyak juga meliput``i pembagian. Materi pembagian suku banyak sengaja dipisah dari operasi hitung lain karena penjelasannya cukup memakan tempat, sehingga perlu dipisah pada halaman tersendiri agar pembahasan tidak terlalu panjang. Jika sobat idschool belum mengerti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, bisa dibaca/dipahami terlebih dahulu. Jika sobat idschool sudah sukup menguasai materi tersebut bisa melanjutkan menyimak pembahasan mengenai pembagian suku banyak di halaman ini.

Materi pembagian suku banyak yang akan dibahas meliputi pembagian suku banyak dengan , , dan $ax^{2} + bx + c$ . Sebenarnya, operasi pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan cara bersusun biasa. Namun, sobat idschool akan dikenalkan menentukan hasil pembagian suku banyak dengan cara horner. Simak penjelasan materi mengenai pembagian suku banyak yang akan diberikan di bawah.

Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)

Bentuk pertama pembagian suku banyak yang akan dibahas adalah pembagian dengan . Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan hasil pembagian yaitu cara bersusun dan skema/bagan/horner. Kedua cara menghasilkan hasil akhir yang sama. Jika sobat idschool tanya cara mana yang lebih baik? Jawabannya adalah keduanya sama. Masing-masing cara akan lebih baik jika digunakan untuk menyelesaikan tipe soal yang tepat. Perbanyak latihan akan menambah insting sobat idschool untuk mengetahui tipe soal bagaimana diselesaikan dengan cara apa. Selanjutnya perhatikan gambaran umum tentang pembagian suku banyak berikut.

Apabila diberikan suku banyak seperti pada persamaan di bawah.

\[ f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0} \]

Kemudian f(x) dibagi dengan maka bentuk umum hasil baginya adalah H(x) yang terlihat seperti persamaan di bawah.

Keterangan:
H(x) = hasil bagi berupa suku banyak bederajat
S(x) = sisa pembagian

Sekarang, kita akan membahas mengenai pembagian suku banyak yang akan ditunjukkan melalui pembahasan di soal. Sesuai informasi yang telah disebutkan sebelumnya, pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu cara bersusun dan skema/bagan/horner. Cara pertama yang akan kita bahas kali ini adalah cara bersusun. Perhatikan prosesnya berikut.

Cara bersusun
Pada pembahasan di bawah akan ditunjukkan cara menentukan hasil bagi $f(x) = x^{2} +6x - 10$ dengan  dengan cara bersusun.

Pertama, perhatikan bahwa persamaan $f(x) = x^{2} +6x - 10$ mempunyai pangkat tertinggi 2, sedangkan pembaginya  mempunyai pangkat tertinggi 1. Agar $x^{2}$ pada $f(x) = x^{2} +6x - 10$ hilang, sobat idschool perlu mengalikan  dengan  (sebagai bagian dari hasil bagi) agar menghasilkan $x^{2} - x$ sehingga $x^{x}$ bisa saling dikurangkan. Hasil pengrangan $x^{2} +6x$ dengan $x^{2} - x$ adalah .

Turunkan nilai  sehingga bilangan yang harus dibagi selanjutnya adalah . Untuk mendapatkan nilai , sobat idschool perlu mengalikan  dengan 7, sehingga keduanya bisa saling mengurangkan. Diperoleh hasil kali 7 dengan  adalah . Selanjutnya, kurangkan  dan  yaitu .

Sampai proses ini, tidak ada lagi yang bisa dibagi sehingga prosesnya selesai. Jadi, hasil bagi dari $f(x) = x^{2} +6x - 7$ adalah  dan sisa pembagiannya adalah .

Cara Skema (Cara Horner)
Pada pembahasan kali ini, akan ditunjukkan pembagian suku banyak dengan cara skema/bagan/horner. Untuk membandingkan dengan cara bersusun, kita akan menyelesaikan kasus serupa, yaitu menentukan hasil bagi dari $f(x) = x^{2} +6x - 10$ dengan . Namun, cara yang digunakan adalah cara skema/bagan/horner. Jika sobat idschool belum tahu proses perhitungan dengan cara skema/bagan/horner bisa pelajari terlebih dahulu. Selanjutnya, perhatikan proses menentukan hasil bagi $f(x) = x^{2} +6x - 10$ dengan berikut.

Metode Horner untuk Pembagian suku banyak

Diperoleh hasil bagi dari $f(x) = x^{2} +6x - 10$ dengan adalah x + 7 dan sisa pembagiannya adalah .

Bagaimana? Mudah Bukan? Cara mana yang lebih baik? Keduanya pasti sama-sama punya keunggulan masing-masing.

Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)

Langkah-langkah menentukan pembagian dengan menggunakan cara bersusun tidak jauh berbeda dengan menentukan pembagian polinomial dengan pada pembahasan sebelumnya. Sedangkan pembagian dengan menggunakan cara skema/bagan/horner perlu dilakukan sedikit lagkah tambahan. Perhatikan bentuk umum pembagian suku banyak untuk bentuk pembagi berupa di bawah.

Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) diperoleh hubungan:

\[ f(x) = (ax + b) \cdot \left[ \frac{H(x)}{a} \right] + S(x)\]

Keterangan:
H(x) = Hasil bagi yang berupa suku banyak berderajat (n – 1)
S(x) = sisa pembagian

Bagaimana, bentuknya hampir sama dengan sebelumnya bukan?
Untuk cara bersusun, caranya sama persis dengan pembahasan sebelumnya, sehingga tidak akan kita bahas lagi di sini. Pembahasan kita akan lansung berlanjut pada pembagian suku banyak dengan cara skema/bagan/horner.

Sebenarnya, langkahnya hampir sama dengan pembahasan sebelumnya tentang pembagian suku banyak dengan . Hanya saja perlu ada sedikit proses tambahan. Langkah tambahan untuk bentuk pembagi adalah mengganti nilai $k = - \frac{b}{a}$ .

Perhatikan proses pengerjaan di bawah untuk menambah pemahaman sobat idschool.

Tentukan hasil bagi dari $f(x) = x^{2} + 7x + 1$ dengan .

Pembahasan: